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https://doi.org/10.11588/diglit.42576#0187
LO SVILUPPO DELLA SCIENZA IN GRECIA
151
esistente sarà grande fino all’infinito, (perchè è illimitato il nu-
mero delle parti); se non avranno grandezza, non esisteranno, e
la cosa sarà piccola fino al nulla ».
« Se esiste pluralità, allora la cosa esistente è illimitata
numericamente, perchè fra due singole parti sempre ve ne esistono
altre, e fra queste altre ancora.... »
E con ciò si enuncia la proprietà, per la quale ora, un insie-
me di infiniti oggetti qualisivogliano, è detto denso.
La inconsistenza del concetto di pluralità pitagorica col po-
stulato di Archimede è messa in evidenza anche dai cosidetti so-
fismi della freccia e di Achille.
La freccia non potrebbe mai giungere allo scopo, perchè prima
dovrebbe giungere alla metà del cammino, poi a metà del cammi-
no rimanente, e così sempre. E nemmeno sarebbe ammissibile che
essa si muovesse, perchè ad ogni istante dovrebbe occupare una
certa posizione, cioè essere ferma in quella, e la somma degli infi-
niti istanti forma un tempo infinito.
Per analoga ragione, il Piè-veloce Achille non potrebbe rag-
giungere la tartaruga che, all’inizio, avesse uno stadio di van-
taggio.
Meno noto, ma altrettanto interessante è ciò che su questo sog-
getto scriveva Anassagora (Diels, I, B. 3, p. 400).
« Nel piccolo non c’è un minimo, ma un sempre più piccolo,
essendo impossibile che ciò che ha esistenza cessi di esistere (per
divisione). Ma anche del grande, c’è sempre un più grande. E,
poiché tanto nel grande quanto nel piccolo c’è egual numero di
particelle (monadi) così, secondo questa veduta, tutto è contenuto
in ogni cosa. E non può darsi alcun elemento unitario (indivisibile)
ma tutto ha parte in tutto ».
Ciò Aristotele esprimeva col dire che c’è omeomeria fra il
tutto ed ogni sua parte. Leibniz esprimeva simile concetto dicendo
che: Ogni monade è specchio dell’universo » fi Noi diremmo che
c’è corrispondenza biunivoca (isomorfismo oloedrico) fra il tutto
ed una sua parte propria, ed in ciò, da Galileo in poi, viene rico-
nosciuta la caratteristica degli insiemi infiniti.
1 Cfr. Lettera ad Huygens del 10-20 marzo 1693 : « Briefweclisel,...
herausgegeben von C. J. Gerhardt, Berlin, 1899, p. 714 » : « il n’y a point de
dernier petit corps, et je Congo is qu’une particelle de la inatière, quelque petite
qu’elle soit, est comme un monde entier plein d’un infinité de creatures plus
petites, et cela à proportion d’un autre corps, fut il aussi grand que le globe
de la terre ».
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esistente sarà grande fino all’infinito, (perchè è illimitato il nu-
mero delle parti); se non avranno grandezza, non esisteranno, e
la cosa sarà piccola fino al nulla ».
« Se esiste pluralità, allora la cosa esistente è illimitata
numericamente, perchè fra due singole parti sempre ve ne esistono
altre, e fra queste altre ancora.... »
E con ciò si enuncia la proprietà, per la quale ora, un insie-
me di infiniti oggetti qualisivogliano, è detto denso.
La inconsistenza del concetto di pluralità pitagorica col po-
stulato di Archimede è messa in evidenza anche dai cosidetti so-
fismi della freccia e di Achille.
La freccia non potrebbe mai giungere allo scopo, perchè prima
dovrebbe giungere alla metà del cammino, poi a metà del cammi-
no rimanente, e così sempre. E nemmeno sarebbe ammissibile che
essa si muovesse, perchè ad ogni istante dovrebbe occupare una
certa posizione, cioè essere ferma in quella, e la somma degli infi-
niti istanti forma un tempo infinito.
Per analoga ragione, il Piè-veloce Achille non potrebbe rag-
giungere la tartaruga che, all’inizio, avesse uno stadio di van-
taggio.
Meno noto, ma altrettanto interessante è ciò che su questo sog-
getto scriveva Anassagora (Diels, I, B. 3, p. 400).
« Nel piccolo non c’è un minimo, ma un sempre più piccolo,
essendo impossibile che ciò che ha esistenza cessi di esistere (per
divisione). Ma anche del grande, c’è sempre un più grande. E,
poiché tanto nel grande quanto nel piccolo c’è egual numero di
particelle (monadi) così, secondo questa veduta, tutto è contenuto
in ogni cosa. E non può darsi alcun elemento unitario (indivisibile)
ma tutto ha parte in tutto ».
Ciò Aristotele esprimeva col dire che c’è omeomeria fra il
tutto ed ogni sua parte. Leibniz esprimeva simile concetto dicendo
che: Ogni monade è specchio dell’universo » fi Noi diremmo che
c’è corrispondenza biunivoca (isomorfismo oloedrico) fra il tutto
ed una sua parte propria, ed in ciò, da Galileo in poi, viene rico-
nosciuta la caratteristica degli insiemi infiniti.
1 Cfr. Lettera ad Huygens del 10-20 marzo 1693 : « Briefweclisel,...
herausgegeben von C. J. Gerhardt, Berlin, 1899, p. 714 » : « il n’y a point de
dernier petit corps, et je Congo is qu’une particelle de la inatière, quelque petite
qu’elle soit, est comme un monde entier plein d’un infinité de creatures plus
petites, et cela à proportion d’un autre corps, fut il aussi grand que le globe
de la terre ».