Heidelberger Jahrbücher der Literatur (51,1.1858)

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Baltzer: Theorie und Anwendung der Determinanten.

Die Darstellung ist durchweg klar und verständlich, und überall ist sorg-
fältig auf die Originalquellen hingewiesen. Nur S. 3 scheint Referenten die
Erklärung einer cyclischen Vertauschung u. s. w. nicht ganz klar zu sein;
doch sind derartige Ausstellungen subjectiver Art, da eine Darstellungsweise
für den Einen mehr Klarheit und Durchsichtigkeit hat, als eine andere.
Die Anwendungen der Determinanten, die den zweiten Theil ausmachen,
sind, wie begreiflich, sehr zahlreich im vorliegenden Buche vertreten, und
bilden den die Theorie wesentlich erläuternden Abschnitt. Sie umfassen S. 35—
130, und erstrecken sich der Reihe nach über die meisten Zweige der Ana-
lysis und höhere Geometrie, wobei wir bemerken wollen, dass eine Erwei-
terung, und wenn man will Vervollständigung der Lehrsätze der reinen Theo-
rie natürlicher Weise mit eingeflochten werden musste.
Als erste dieser Anwendungen erscheint die Auflösung von n Gleichungen
des ersten Grades mit n Unbekannten, bekanntlich die Aufgabe, bei der zuerst
die Determinanten auftraten. Die sogenannte Cramer’sche Regel ist zuerst
von Leibnitz gefunden worden, der sie in seinem Briefe an den Marquis
de lTIöpital vom 28. April 1693 aufführt, später aber von Cramer selbst-
ständig wieder erfunden worden. Als besonderer Fall betrachtet unser Buch
dann den, da in allen Gleichungen die zweiten Seiten Null sind, man also
eigentlich n Gleichungen zwischen n — 1 Grössen hat, wo dann die Determi-
nante als Resultante dieser Gleichungen auftritt.
Die von Joachimsthal verallgemeinerte M a I ms t e n ’ sehe Auflösung
der Aufgabe, aus n—1 bekannten besondere Integralen einer linearen Diffe-
rentialgleichung der nlen Ordnung das fehlende nte zu suchen (aus n—m die
fehlenden m), bildet die nächste Anwendung, die hier in sehr klarer Weise
durchgeführt wird, so dass Ref. sie der Darstellung in dem Buche von Brio-
schi (S. 72) vorzieht. — Untersuchungen über die Resultante zweier alge-
braischer Gleichungen schliessen sich hieran an, und sind dabei nicht nur alle
möglichen Fälle berücksichtigt, sondern auch je thatsächlich gezeigt, wie
diese Resultante zu bilden ist Zu diesen Untersuchungen gehören unmittel-
bar die über Ermittlung des Produkts aller zwischen n Grössen möglichen
Differenzen. Der in unserm Buche geführte Beweis ist ein mittelbarer, wäh-
rend Brioschi (S. 65) die Sache direkt erledigt. Es schliessen sich hieran
die Umformungen homogener Funktionen zweier Veränderlichen in ihre ka-
nonische Form, so wie die Darstellung des Produkts aller Differenzen der
(verschieden vorausgesetzten) Wurzeln einer algebraischen Gleichung durch
die Summen der Potenzen dieser Wurzeln, so wie die Darstellung desselben
Produkts durch die Koeffizienten der Gleichung.
Die von Jacobi in der berühmten Abhandlung: „De Determinantibus
functionalibus“ (Crelle Journal 22. S. 319ff.) ausführlich behandelten Func-
tional-Determinanten werden zur Umformung eines n fachen Integrals
angewendet, sodann diejenigen Sätze aufgestellt, die nothwendig sind, um
das Prinzip des letzten Multiplikators aufzustellen, wobei jedoch
dieses Prinzip selbst nicht gehörig angegeben worden, was Referent als einen
wesentlichen Mangel im Buche betrachtet. Brio sch i ist darüber nicht weg-
gegangen (S. 78), wenn auch seine Darstellung nicht gerade an übermässiger
Klarheit leidet.