DOI issue:
Nr. 7
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102
Price: A Treatise on Integral Calculus.
wird (S. 87), dass cos co = 0. Das hat begreiflich keinen Sinn,
absonderlich wenn kurz vorher auch sin oo = 0 gefunden wurde 1
b
Eben so dürfen Integrale | f(x) dx, für welche f(x) an der obern
a
Gränze unendlich wird, nicht ohne weitere Untersuchung zugelassen
werden. Die Bemerkung, dass man nur bis zu der oberen Gränze
gehe, ohne dieselbe einzuschliessen, ist entschieden Nichts sagend,
1
Jclx
-—- eben so gelten musste, und im Palle f(x)
0
an der untern Gränze unendlich wäre, eben gar Nichts zu sagen
wüsste. Auf das sicher gar sonderbare Resultat, dass sin oo und
cos oo Null seien, kommt übrigens derVerf. (S. 95) nochmals zurück
und entfaltet eine grosse Beredsamkeit, um den darin steckenden
Widerspruch zu vertuschen. Ref. meint, dass, sobald man einmal
auf diese wortreichen Gründe greife, das Bewusstsein der verlore-
nen mathematischen Klarheit den Redner drücke, wie dies ganz
sicher auch unserm Verf., dem es sonst entschieden Ernst ist um
Klarheit, begegnete.
Dass (S. 91) in aller Gemüthsruhe gesagt ist, man finde »by
oo oo
/ dx /^x^m dx
a similar process« den Werth von I—wie den von | —r—
1 Jx2n—1’ Jx2n4~l
- 00 - CO
beruht offenbar auf einer alten Angewöhnung, das erstgenannte In-
tegral bereits »berechnet« zu sehen. Die Angabe ist einfach zu
streichen, da das fragliche Integral unzulässig ist.
Dies Letztere hängt mit der (S. 98 ff.) dargestellten Cauchy-
schen Theorie des Hauptwerthes zusammen, die trotz der
Moigno’schen Darstellung und Zustimmung zu verwerfen ist. Unser
Buch hat sie leider aufgenommen. Wenn, sagt der Verf., f(x) un-
endlich wird für x — |, welcher Werth zwischen den Gränzen a und
b § — tia b
b liegt, so setzt man ^Jf(x) dx ™ Jf(x) dx-[-|^(x) dx, wo a (unend-
a a k, va
kch) klein; ft, v aber beliebig (positiv) sind. Diese Gleichung ist
falsch. Denn es ist immer noch ^f(x) dx zuzufügen, und die Weg-
lassung dieser Grösse kömmt auf die stillschweigend angenommene
Behauptung hinaus, dieselbe sei Null. Gerade das aber lässt sich
nicht beweisen, weil eben f(x) innerhalb dieser Gränzen unend-
Price: A Treatise on Integral Calculus.
wird (S. 87), dass cos co = 0. Das hat begreiflich keinen Sinn,
absonderlich wenn kurz vorher auch sin oo = 0 gefunden wurde 1
b
Eben so dürfen Integrale | f(x) dx, für welche f(x) an der obern
a
Gränze unendlich wird, nicht ohne weitere Untersuchung zugelassen
werden. Die Bemerkung, dass man nur bis zu der oberen Gränze
gehe, ohne dieselbe einzuschliessen, ist entschieden Nichts sagend,
1
Jclx
-—- eben so gelten musste, und im Palle f(x)
0
an der untern Gränze unendlich wäre, eben gar Nichts zu sagen
wüsste. Auf das sicher gar sonderbare Resultat, dass sin oo und
cos oo Null seien, kommt übrigens derVerf. (S. 95) nochmals zurück
und entfaltet eine grosse Beredsamkeit, um den darin steckenden
Widerspruch zu vertuschen. Ref. meint, dass, sobald man einmal
auf diese wortreichen Gründe greife, das Bewusstsein der verlore-
nen mathematischen Klarheit den Redner drücke, wie dies ganz
sicher auch unserm Verf., dem es sonst entschieden Ernst ist um
Klarheit, begegnete.
Dass (S. 91) in aller Gemüthsruhe gesagt ist, man finde »by
oo oo
/ dx /^x^m dx
a similar process« den Werth von I—wie den von | —r—
1 Jx2n—1’ Jx2n4~l
- 00 - CO
beruht offenbar auf einer alten Angewöhnung, das erstgenannte In-
tegral bereits »berechnet« zu sehen. Die Angabe ist einfach zu
streichen, da das fragliche Integral unzulässig ist.
Dies Letztere hängt mit der (S. 98 ff.) dargestellten Cauchy-
schen Theorie des Hauptwerthes zusammen, die trotz der
Moigno’schen Darstellung und Zustimmung zu verwerfen ist. Unser
Buch hat sie leider aufgenommen. Wenn, sagt der Verf., f(x) un-
endlich wird für x — |, welcher Werth zwischen den Gränzen a und
b § — tia b
b liegt, so setzt man ^Jf(x) dx ™ Jf(x) dx-[-|^(x) dx, wo a (unend-
a a k, va
kch) klein; ft, v aber beliebig (positiv) sind. Diese Gleichung ist
falsch. Denn es ist immer noch ^f(x) dx zuzufügen, und die Weg-
lassung dieser Grösse kömmt auf die stillschweigend angenommene
Behauptung hinaus, dieselbe sei Null. Gerade das aber lässt sich
nicht beweisen, weil eben f(x) innerhalb dieser Gränzen unend-