Houel: Essai sur les principes de la Geometrie.

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irgend wo und zwar vor vielen Jahren, diese Theorie so darge-
stellt zu haben.
Bekanntlich folgt daun leicht das vielbesprochene elfte Axiom
Euclids und auch damit der Satz von der Summe der Winkel in
einem Dreieck.
Referent macht bei dieser Gelegenheit darauf aufmerksam, dass
man den Satz, dass die Winkel in einem Dreiecke zusammen zwei
Rechte betragen, ganz unmittelbar, ohne irgend einen Lehrsatz,
beweisen kann, und — wenn er sich recht erinnert — rührt die-
ser Beweis von Thibaut her; daraus folgt ganz von selbst, dass
wenn die innern Gegenwinkel zwei Rechte betragen, die Geraden
sich nicht schneiden können, und dass wenn zwei Gerade sich
schneiden (und man zieht durch dieselben eine Querlinie) die innern
Gegenwinkel auf der Seite, auf der sie sich schneiden, kleiner, auf
der andern also grösser als zwei Rechte sind. Damit ist freilich
der umgekehrte Satz noch nicht erwiesen. Wollte man ihn hier
beweisen, so hätte man zu zeigen, dass bei zwei sich schneidenden
Geraden die Summe der innern Gegenwinkel so nahe an zwei Rechte
kommen kann als man will, woraus sich dann ergibt, dass immer
zwei Winkel, die zusammen noch unter zwei Rechten sind, in einem
Dreiecke vorkommen können. Daraus würde dann folgen, dass so
lange die innern Gegenwinkel unter zwei Rechten sind, nothwendig
ein Schneiden der Geraden auf der betreffenden Seite stattfindet;
dass es auf der andern Seite eintritt, wenn diese Winkel grösser
als zwei Rechte sind. Daraus dann endlich würde sich ergeben,
dass wenn die Linien parallel sind, die innern Gegenwinkel noth-
wendig zwei Rechte betragen. Es liegt allerdings in dieser Dar-
stellung auch eine Art Annahme verborgen — dass nämlich zwei
Winkel, die zusammen unter zwei Rechten sind, immer in einem
Dreiecke vorkommen können — ; doch scheint dieselbe sich ziem-
lich fest begründen zu lassen. Wir begnügen uns hier mit diesen
Andeutungen. In dem neuesten Hefte seines Archivs hat Grünert
diesem Gegenstände eine Abhandlung gewidmet, welche namentlich
den letzten Punkt vollständig erledigt.
Der Verf. stellt nun noch die Sätze Euclids, die er in seinem
ersten Tbeil aufgeführt, in der Folge zusammen, die ihm die zweck-
mässigste erscheint, worüber wir jetzt, da doch im Grunde die
Hauptsache das Ersetzen des Postulatums Euclids ist, Weggehen
dürfen.
Ein Anhang enthält als Noten einige weitere Ausführungen
und zwar: Ueber die Unveränderlichkeit der Figuren; über die
geometrische Bewegung; über die auf die Existenz der geraden
Linie und der Ebene bezüglichen Axiome; über die Definition der
geraden Linie; über die Winkeleinheit; über das Postulatum Eu-
clids ; über die Theorie der Parallelen; übei* die Länge einer krum-
men Linie; Gedanken über den Unterricht in der elementaren
Geometrie.