Institut Egyptien <al-Qāhira> [Hrsg.]: Bulletin de l'Institut Egyptien (2.Ser. 3.1882(1883))

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Former les différentes fonctions de Sturm n'est donc
qu'un pur exercice d'arithmétique.

Toutefois, quelque simple que soit cette formation,
on peut l'éviter lorsque les coefficients de l'équation
sont numériques. En substituant deux nombres con-
venablement choisis dans une équation quelconque du
troisième degré, trois nombres dans une équation du
quatrième degré, on peut, à la fois, déterminer le nom-
bre des racines réelles, et les séparer, parce que, en
vertu de ces substitutions, on a implicitement vérifié
les conditions qui résultent du théorème de Sturm, sans
avoir eu besoin de les calculer.

Il suffît de diviser le premier membre de l'équation
proposée par sa dérivée. On égale à zéro le quotient et
le reste de la division ; puis on range par ordre de gran-
deur décroissante les racines de ces deux opératipns
auxiliaires. Si toutes les racines sont réelles, en substi-
tuant dans la proposée les nombres de rang impair,
le résultat sera positif, et en substituant les nombres de
rang pair, le résultat sera positif.

II

Considérons l'équation générale du troisième degré
F(x)==A,x3+Bcc2+0+D=0

Les conditions de réalité des trois racines sont :

B2—3AC>0
4(B2—3AC)(C2—3BD)—(BC—9AD)2>0