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N. 68
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Y. Ettingshausen combinatorische Anai^sis.
1U81
dieselben bleiben, in welcher Ordnung sie übrigens gesetzt
werden mögen; daher werden alle aus der nämlichen Exponen-
tengruppe entspringenden Glieder obiger Formel mit einerlei
CoeAicienten versehen seyn. 9
«Wir wollen die Summe der Glieder, welche entstehen,
indem man alle Combinationen der Gröfsen A„, A, , Ag, Ag . . .
Am zur so vielten Klasse bildet, als eine gegebene Exponenten-
gruppe a, b, c . . . Elemente umhalst, und dann den Facto-
ren jeder Comhination diese Exponenten in allen möglichen Ver-
setzungen beilegt, durch das Symbol [a, b, c . ..] andeuten. 9
Hiedurch erlangt die obige Polynomialformel folgende Gestalt:
r *' ln n!
35 Ar [a,b, . . . .]
L.o,tn
woraus denn der Verf. die schon bekannten Sätze über die Bil-
dung der Polynome folgert. Es wird demnach z. B.
r<3Ar r = [3] +3[.,9]f6[. ,<, .]
d. h. die dritte Potenz eines Polynomiums bestehet aus den
Würfeln seiner Glieder, aus den dreifachen Pro-
dukten der ersten Potenzen und der Quadrate je
zweier, endlich aus den sechsfachen Producten
je dreier Glieder.
Hierauf folgt die Erhebung eines Polynomiums in die ntc
Potenz, dessen Glieder nach den Potenzen einer Hauptgröfse,
deren Exponenten in arithmetischer Progression fortschreiten,
geordnet sind. Das allgemeine Verfahren wird an dem Beispiele
(3— 5* — yx2-j-x3-j-3x4)3
verdeutlicht, die Bildung des fünAen Gliedes ist herausgeho-
ben , die ganze Entwicklung dieses Polynomiums ist am Ende
des §. beigegeben. <
§.71. theilt der Verf. eine neue Form des polynomischen
Lehrsatzes mit, welche Darstellungsart sich auch auf die früher
entwickelte allgemeine Form des polynomischen Lehrsatzes an-
wenden lälst. Da das Bisherige nur für die Potenzirung der
ganzen und bejahten Exponenten gedient hat, so wird nun im
F olgenden die Potenzirung der Polynomien für jeden Exponen-
ten gegeben.
Die Auflösung dieses Problems ist in den §. — 78. mit-
getheilt. Es ist nicht zu verkennen, dafs der Verf. Festigkeit
und Sicherheit in dem Gange der Untersuchung zeigt, und
nie das Ziel aus dem Auge verliert, wenn er auch HülAsätze
zur Hand nehmen mufs.
1U81
dieselben bleiben, in welcher Ordnung sie übrigens gesetzt
werden mögen; daher werden alle aus der nämlichen Exponen-
tengruppe entspringenden Glieder obiger Formel mit einerlei
CoeAicienten versehen seyn. 9
«Wir wollen die Summe der Glieder, welche entstehen,
indem man alle Combinationen der Gröfsen A„, A, , Ag, Ag . . .
Am zur so vielten Klasse bildet, als eine gegebene Exponenten-
gruppe a, b, c . . . Elemente umhalst, und dann den Facto-
ren jeder Comhination diese Exponenten in allen möglichen Ver-
setzungen beilegt, durch das Symbol [a, b, c . ..] andeuten. 9
Hiedurch erlangt die obige Polynomialformel folgende Gestalt:
r *' ln n!
35 Ar [a,b, . . . .]
L.o,tn
woraus denn der Verf. die schon bekannten Sätze über die Bil-
dung der Polynome folgert. Es wird demnach z. B.
r<3Ar r = [3] +3[.,9]f6[. ,<, .]
d. h. die dritte Potenz eines Polynomiums bestehet aus den
Würfeln seiner Glieder, aus den dreifachen Pro-
dukten der ersten Potenzen und der Quadrate je
zweier, endlich aus den sechsfachen Producten
je dreier Glieder.
Hierauf folgt die Erhebung eines Polynomiums in die ntc
Potenz, dessen Glieder nach den Potenzen einer Hauptgröfse,
deren Exponenten in arithmetischer Progression fortschreiten,
geordnet sind. Das allgemeine Verfahren wird an dem Beispiele
(3— 5* — yx2-j-x3-j-3x4)3
verdeutlicht, die Bildung des fünAen Gliedes ist herausgeho-
ben , die ganze Entwicklung dieses Polynomiums ist am Ende
des §. beigegeben. <
§.71. theilt der Verf. eine neue Form des polynomischen
Lehrsatzes mit, welche Darstellungsart sich auch auf die früher
entwickelte allgemeine Form des polynomischen Lehrsatzes an-
wenden lälst. Da das Bisherige nur für die Potenzirung der
ganzen und bejahten Exponenten gedient hat, so wird nun im
F olgenden die Potenzirung der Polynomien für jeden Exponen-
ten gegeben.
Die Auflösung dieses Problems ist in den §. — 78. mit-
getheilt. Es ist nicht zu verkennen, dafs der Verf. Festigkeit
und Sicherheit in dem Gange der Untersuchung zeigt, und
nie das Ziel aus dem Auge verliert, wenn er auch HülAsätze
zur Hand nehmen mufs.