DOI Heft:
[Num. 31-40]
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tres se sont le plus occupes. Ceux qui ont
ete le plus loin dans ces recherches , sont
Leibnitz , Mrs. les freres Bernoulli, Taylor,
Monmort, Moivre , Goldbach , Stirling ,
Mac-Laurin, Nicolas Euler, Ricati, & quel-
ques autres dont Fenumeration complette
seroit difficile ä faire. Avec tout cela il
n’existoit encore aucune methode qu’on put
regarder comme aisee & complette.
En faisant attention aux conditions dont
doivent etre douees de semblables series ,
pour admetre une somme algebrique , il
paroit qu’elles ont toutes ceci de commun:
c’est que leur terme en general soit tou-
jours divise par deux ou plusieurs faAeurs
sifnples, ou qui se suivent les uns les au-
tres , ou qui appartiennent du moins ä la
meme serie arithmetique. En esfet, dit Ri-
cati dans la Rreface de son Commentaire
fiir les series , on n’a encore produit aucune
» serie rompue , dont la somme generale
» soit dans une puiss'ance placee hors de
» ces limites » . Mais M. Lorgna demon-
tre qu’il y a une infinite de series depour-
vues de ces conditions, & qui par sa me-
thode ne laissent pas d’admetre une somme
generale , qui est estimable.
Il auroit ete a souhaiter a la verite qu’on
parvint a ur.e seule & meme fa$on de
Jsommer qui püt egalement servir a la
sommation des series affeftees d’un signe
positif, & a celle des series ou les signes
alternent; il est constant qu’on n’a pu encore
en venir ä bout , par ce nombre innoni-
brable de series , dont les methodes con-
nues ne sauroient definir les sommes. Or
M. Lorgna pretend foarnir cette methode
desiree , & convenable aux deux ordres des
jßries susdites. Ajoutez que suivant Ricati,
toutes les fois que le plus grand exposant
de Findice dans le numerateur, n’est pas
pour le moins d’un binaire moindrc que
Je plus grand exposant du meme indice
dans le denominateur ; on n’obtienr ja-
mais la somme de la serie. Stirling a pa-
xeillement exige la meme condition. Le
ehapitre III de l’ouvrage de M. Lorgna ,
donne une methode de distinguer avec cer-
titude , lesquelles d’entre ces series sont
destituees d'une somme finie , & lesquelles
peuvent etre sommees , soit algebrique-
( Ut )
ment, sort par que!qt?ane des faffieuses qua-
dratures; & la chose est mise en evidencc
par des exemplcs. Que s’il se presente une
serie qui rejette la somme algebrique, soit
que cette serie ait des signes positifs, ou
des signes alternants, on parviendra nean-
moins ä la somme; si Fon determine quelle
quantite finie entre dans cette serie, en se
servaat pour cet esfet ou des courbes al-
gebriques , ou tout au plus dans quelques
cas particulier , des transeendantes. M. Lor-
gna prie ceux qui voudront se convaincrc
de l’insuffisance de tout ce qui a ete tente jus-
qu’ici sür ce genre de series, pour en ope-
rer ia redudfion generale , de comparer les
travaux de ses devanciers dans cette car-
riere avec les siens.
Il ne restoit plus que les series recipro-
ques des puissances impaires des nombres
naturels , qui sembloienr , pour ainsi-dire ,
les plus indomptables, & qui s’etoient re-
fusees jusqu’ici a tous les esferts de l’esprit
humain. M. Lorgna s’en est rendu maitre
a l’aide des courbes transeendantes. L’illustrc
M. Jacques Bernoulli est le premier, que
Fon sache, qui ait cherche la somme de
la serie — — &c.
mais en vain comme il Favoue lui-meme
a la page 284 de son Traite des series in-
sinies t en ces termes : Si quis inveniat ,
nobifque communicet , quod industriam nos-
tram elufit hacienus, magnas de nobis gra-
tias feret. Depuis, Mrs. Jean Bernoulli &
Leonard Euler , ont deploye les forces de
leur genie sür ce sujet, & sont parvenus
ä trouver , par le moyen du cercle , les
sommes de ces series dans les puissances pai-
res. Mais quant aux impaires , M. Ber-
noulli a fait l'aveu suivant, ä la p. 42du
IV volume de ses ceuvres. Quomodo vero
series traciand& fint si denominatores termi-
norum sint numeri naturales ad dimensiones
impares elevati, ex. gr si hac fimplicijßma pro*
ponatur series 1 — L_ + 75- +- +■ 77-
4— &c. cujus atque summa est finita , nondum
ccrstat per hanc nostram methodum. Invitan-
tur analista ut defeciui succurrant.
Enfin l’infatigable & profond M. Euler,
ayant traite des meines series d^ns le tome
ete le plus loin dans ces recherches , sont
Leibnitz , Mrs. les freres Bernoulli, Taylor,
Monmort, Moivre , Goldbach , Stirling ,
Mac-Laurin, Nicolas Euler, Ricati, & quel-
ques autres dont Fenumeration complette
seroit difficile ä faire. Avec tout cela il
n’existoit encore aucune methode qu’on put
regarder comme aisee & complette.
En faisant attention aux conditions dont
doivent etre douees de semblables series ,
pour admetre une somme algebrique , il
paroit qu’elles ont toutes ceci de commun:
c’est que leur terme en general soit tou-
jours divise par deux ou plusieurs faAeurs
sifnples, ou qui se suivent les uns les au-
tres , ou qui appartiennent du moins ä la
meme serie arithmetique. En esfet, dit Ri-
cati dans la Rreface de son Commentaire
fiir les series , on n’a encore produit aucune
» serie rompue , dont la somme generale
» soit dans une puiss'ance placee hors de
» ces limites » . Mais M. Lorgna demon-
tre qu’il y a une infinite de series depour-
vues de ces conditions, & qui par sa me-
thode ne laissent pas d’admetre une somme
generale , qui est estimable.
Il auroit ete a souhaiter a la verite qu’on
parvint a ur.e seule & meme fa$on de
Jsommer qui püt egalement servir a la
sommation des series affeftees d’un signe
positif, & a celle des series ou les signes
alternent; il est constant qu’on n’a pu encore
en venir ä bout , par ce nombre innoni-
brable de series , dont les methodes con-
nues ne sauroient definir les sommes. Or
M. Lorgna pretend foarnir cette methode
desiree , & convenable aux deux ordres des
jßries susdites. Ajoutez que suivant Ricati,
toutes les fois que le plus grand exposant
de Findice dans le numerateur, n’est pas
pour le moins d’un binaire moindrc que
Je plus grand exposant du meme indice
dans le denominateur ; on n’obtienr ja-
mais la somme de la serie. Stirling a pa-
xeillement exige la meme condition. Le
ehapitre III de l’ouvrage de M. Lorgna ,
donne une methode de distinguer avec cer-
titude , lesquelles d’entre ces series sont
destituees d'une somme finie , & lesquelles
peuvent etre sommees , soit algebrique-
( Ut )
ment, sort par que!qt?ane des faffieuses qua-
dratures; & la chose est mise en evidencc
par des exemplcs. Que s’il se presente une
serie qui rejette la somme algebrique, soit
que cette serie ait des signes positifs, ou
des signes alternants, on parviendra nean-
moins ä la somme; si Fon determine quelle
quantite finie entre dans cette serie, en se
servaat pour cet esfet ou des courbes al-
gebriques , ou tout au plus dans quelques
cas particulier , des transeendantes. M. Lor-
gna prie ceux qui voudront se convaincrc
de l’insuffisance de tout ce qui a ete tente jus-
qu’ici sür ce genre de series, pour en ope-
rer ia redudfion generale , de comparer les
travaux de ses devanciers dans cette car-
riere avec les siens.
Il ne restoit plus que les series recipro-
ques des puissances impaires des nombres
naturels , qui sembloienr , pour ainsi-dire ,
les plus indomptables, & qui s’etoient re-
fusees jusqu’ici a tous les esferts de l’esprit
humain. M. Lorgna s’en est rendu maitre
a l’aide des courbes transeendantes. L’illustrc
M. Jacques Bernoulli est le premier, que
Fon sache, qui ait cherche la somme de
la serie — — &c.
mais en vain comme il Favoue lui-meme
a la page 284 de son Traite des series in-
sinies t en ces termes : Si quis inveniat ,
nobifque communicet , quod industriam nos-
tram elufit hacienus, magnas de nobis gra-
tias feret. Depuis, Mrs. Jean Bernoulli &
Leonard Euler , ont deploye les forces de
leur genie sür ce sujet, & sont parvenus
ä trouver , par le moyen du cercle , les
sommes de ces series dans les puissances pai-
res. Mais quant aux impaires , M. Ber-
noulli a fait l'aveu suivant, ä la p. 42du
IV volume de ses ceuvres. Quomodo vero
series traciand& fint si denominatores termi-
norum sint numeri naturales ad dimensiones
impares elevati, ex. gr si hac fimplicijßma pro*
ponatur series 1 — L_ + 75- +- +■ 77-
4— &c. cujus atque summa est finita , nondum
ccrstat per hanc nostram methodum. Invitan-
tur analista ut defeciui succurrant.
Enfin l’infatigable & profond M. Euler,
ayant traite des meines series d^ns le tome