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https://doi.org/10.11588/diglit.18331#0162
138 Jacobi als ordentl. Professor an der Universität zu Königsberg.
Schon vor längerer Zeit hatte Jacobi gefunden und in
seinen Vorlesungen es ausgesprochen, daß die Unikehrungs-
funktion eines hyperelliptischen Integrals eine unendlich
kleine Periode besitzen würde und sie gesprächsweise des-
halb keine „vernünftige Funktion" genannt. Lange hatte er
vergeblich über ein naturgemäßes Prinzip zur Umkehrung
der Integrale algebraischer Funktionen nachgesonnen, bis
ihm schon im vorigen Sommer „in hac quasi desperatione"
das Abelsche Theorem den richtigen Weg wies. „Jam rogo,
et quaenam sint casu generaliori functiones illae, quarum
inversae sunt transcendentes Abelianae, et quomodo de hisce
exhibitum audiat theorema Abelianuin." Um die wahre
Natur des Ab eischen Theorems und seine Bedeutung für
die Frage der Umkehrung deutlich hervortreten zu lassen,
spricht er es für hyperelliptische Integrale in der Form
aus, daß, wenn X ein Polynom 5. oder G. Grades be-
X X
/d ' x d sc
—^ = rp(x), J = 9>i (*) setzt, a
o
und b so aus x, y, 0 algebraisch zusammengesetzt werden
können, daß <p (x) + cp (y) + cp (z) = cp (a) -f- cp (b) und
9>x (x) + <p± (y) + tpt (e) = cp1 (a) + % (&) ist; setzt man
nun cp (x) + <p (y) =u, tpt (x) + tp± (y) = v, x== X (u, v),
y = Xi («, v), so folgt, daß X (u + u, v + v), X1 (u + u'} v + v')
sich algebraisch durch X (ii, v), Xi (u, v), X («', v')} X1 (u, v)
ausdrücken lassen, und ebenso leicht ergibt sich, daß für
hyperelliptische Differentiale die beiden linearen Differential-
gleichungen 1. Ordnung- zwischen drei Variabein —— -I---
00 ° yx yr
dz r.xdx.ydy,zdz n . ■,, . „ .,. ,
i--7= = 0 , - —h - ^--1=- = *-* zwei vollständige alge-
yz ' yx yy yz ob
braische Integrale haben. Ganz ähnlich lauten die ent-
sprechenden Theoreme für hyperelliptische Integrale be-
liebiger Ordnung.
Aber auch frühere zahlentheoretische Untersuchungen
hatte er nun wieder aufgenommen, und ohne noch Be-
Schon vor längerer Zeit hatte Jacobi gefunden und in
seinen Vorlesungen es ausgesprochen, daß die Unikehrungs-
funktion eines hyperelliptischen Integrals eine unendlich
kleine Periode besitzen würde und sie gesprächsweise des-
halb keine „vernünftige Funktion" genannt. Lange hatte er
vergeblich über ein naturgemäßes Prinzip zur Umkehrung
der Integrale algebraischer Funktionen nachgesonnen, bis
ihm schon im vorigen Sommer „in hac quasi desperatione"
das Abelsche Theorem den richtigen Weg wies. „Jam rogo,
et quaenam sint casu generaliori functiones illae, quarum
inversae sunt transcendentes Abelianae, et quomodo de hisce
exhibitum audiat theorema Abelianuin." Um die wahre
Natur des Ab eischen Theorems und seine Bedeutung für
die Frage der Umkehrung deutlich hervortreten zu lassen,
spricht er es für hyperelliptische Integrale in der Form
aus, daß, wenn X ein Polynom 5. oder G. Grades be-
X X
/d ' x d sc
—^ = rp(x), J = 9>i (*) setzt, a
o
und b so aus x, y, 0 algebraisch zusammengesetzt werden
können, daß <p (x) + cp (y) + cp (z) = cp (a) -f- cp (b) und
9>x (x) + <p± (y) + tpt (e) = cp1 (a) + % (&) ist; setzt man
nun cp (x) + <p (y) =u, tpt (x) + tp± (y) = v, x== X (u, v),
y = Xi («, v), so folgt, daß X (u + u, v + v), X1 (u + u'} v + v')
sich algebraisch durch X (ii, v), Xi (u, v), X («', v')} X1 (u, v)
ausdrücken lassen, und ebenso leicht ergibt sich, daß für
hyperelliptische Differentiale die beiden linearen Differential-
gleichungen 1. Ordnung- zwischen drei Variabein —— -I---
00 ° yx yr
dz r.xdx.ydy,zdz n . ■,, . „ .,. ,
i--7= = 0 , - —h - ^--1=- = *-* zwei vollständige alge-
yz ' yx yy yz ob
braische Integrale haben. Ganz ähnlich lauten die ent-
sprechenden Theoreme für hyperelliptische Integrale be-
liebiger Ordnung.
Aber auch frühere zahlentheoretische Untersuchungen
hatte er nun wieder aufgenommen, und ohne noch Be-