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https://doi.org/10.11588/diglit.18331#0575
Nachtrag.
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Größenverhältaisse zurückführt, so führt sie etwas außerhalb
des Problems Liegendes ein, denn die Koordinatenachsen
müssen wieder herausfallen. In besonderen Fällen kann man
zwar deren Lage so bestimmen, daß sie ein Teil des Pro-
blems werden, dann nähern sich die analytischen Betrach-
tungen den geometrischen. Die Bedeutung einer Formel zu
erkennen, dafür gibt es keine Regeln, und es bleiben daher
oft einfache Resultate in de^n Formeln verborgen. Die geo-
metrische Betrachtung lehrt die Formeln deuten, sie bleibt
immer in der Figur, und jedes Resultat ist gerade so aus-
gedrückt, wie es der Gegenstand fordert. Hat man eine
oder mehrere Größen durch andere ausgedrückt, die völlig
bestimmt sind, so kann man untersuchen, wie jene sich
ändern, wenn die Bestimmungsstücke sich ändern; man
nimmt die Änderungen so klein an, daß man analytisch
nach Potenzen entwickeln kann. Die geometrische Bedeutung
der Entwicklungskoeffizienten anzugeben, ist sodann die Auf-
gabe des geometrischen Differentiierens."
Die Differentiation des sphärischen Dreiecks liefert ihm
den berühmten Legendreschen Satz, daß, wenn man die
Winkel eines sphärischen Dreiecks aus den Seiten berechnet,
als wären diese Seiten eines ebenen Dreiecks, und dann 1/3
des sphärischen Exzesses zu jedem der gefundenen Winkel
hinzuaddiert, man die Winkel des sphärischen Dreiecks bis
auf Größen der 4. Ordnung genau erhält, und ähnlich ergeben
sich die von Bessel und Gauss gegebenen Erweiterungen.
Nachdem er nun ähnlich wie in früheren Vorlesungen
über diesen Gegenstand allgemeine Betrachtungen über Be-
rührungen verschiedener Ordnung von Kurven und Flächen
angestellt, geht er zunächst zur Behandlung der Wende-
punkte ebener Kurven über, die er auf der Entwicklung
der Kurvengleichung nach der Taylorschen Reihe basiert,
beweist auf Grund einer genauen Behandlung der Diskri-
minante und des invarianten Charakters derselben seinen
Satz von der Anzahl der Doppeltangenten, den er bald
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Größenverhältaisse zurückführt, so führt sie etwas außerhalb
des Problems Liegendes ein, denn die Koordinatenachsen
müssen wieder herausfallen. In besonderen Fällen kann man
zwar deren Lage so bestimmen, daß sie ein Teil des Pro-
blems werden, dann nähern sich die analytischen Betrach-
tungen den geometrischen. Die Bedeutung einer Formel zu
erkennen, dafür gibt es keine Regeln, und es bleiben daher
oft einfache Resultate in de^n Formeln verborgen. Die geo-
metrische Betrachtung lehrt die Formeln deuten, sie bleibt
immer in der Figur, und jedes Resultat ist gerade so aus-
gedrückt, wie es der Gegenstand fordert. Hat man eine
oder mehrere Größen durch andere ausgedrückt, die völlig
bestimmt sind, so kann man untersuchen, wie jene sich
ändern, wenn die Bestimmungsstücke sich ändern; man
nimmt die Änderungen so klein an, daß man analytisch
nach Potenzen entwickeln kann. Die geometrische Bedeutung
der Entwicklungskoeffizienten anzugeben, ist sodann die Auf-
gabe des geometrischen Differentiierens."
Die Differentiation des sphärischen Dreiecks liefert ihm
den berühmten Legendreschen Satz, daß, wenn man die
Winkel eines sphärischen Dreiecks aus den Seiten berechnet,
als wären diese Seiten eines ebenen Dreiecks, und dann 1/3
des sphärischen Exzesses zu jedem der gefundenen Winkel
hinzuaddiert, man die Winkel des sphärischen Dreiecks bis
auf Größen der 4. Ordnung genau erhält, und ähnlich ergeben
sich die von Bessel und Gauss gegebenen Erweiterungen.
Nachdem er nun ähnlich wie in früheren Vorlesungen
über diesen Gegenstand allgemeine Betrachtungen über Be-
rührungen verschiedener Ordnung von Kurven und Flächen
angestellt, geht er zunächst zur Behandlung der Wende-
punkte ebener Kurven über, die er auf der Entwicklung
der Kurvengleichung nach der Taylorschen Reihe basiert,
beweist auf Grund einer genauen Behandlung der Diskri-
minante und des invarianten Charakters derselben seinen
Satz von der Anzahl der Doppeltangenten, den er bald