Institut Egyptien <al-Qāhira> [Hrsg.]: Bulletin de l'Institut Egyptien (2.Ser. 1.1880(1882))

l'extrémité inférieure de la sinuosité, la droite est tangente ;
deux des racines de l'équation ci-dessus sont égales et l'on a

4 (B2— SAC) jC2—3B (D—Ô)J —I9A(D—5)—BCj 2=0

ou bien, en développant, et ordonnant par rapport à 8,

81 A2 o2—6 (2 B3—9ABC -j- 27 A2 D) 3
—4 (B2—SAC) (C2—3 BD) -f- (9 AD— BC)2=rO.

Les racines réelles de l'équation proposée correspondent
aux intersections de la courbe avec l'axe des abscisses. Pour
qu'il y ait trois racines réelles, il faut trois intersections ; ce
qui exige que l'axe des abscisses soit compris entre les deux
tangentes horizontales qui limitent la sinuosité de la courbe.

Les deux valeurs de 3 fournies par l'équation précédente
doivent être de signes contraires, et il faut que le produit des
racines soit négatif.

4 (B2 — 3 AC) (C2 — 3 BD) > (9 AD — BC)^

Il est d'ailleurs évident que si les valeurs de S ont des
signes contraires, elles sont réelles. On n'a donc pas à
s'inquiéter de la réalité des racines de l'équation en S.

IL

Suif l'équation générale du 4e degré :

Ax1 -f Bx3 + Cx^ -f Dx -f m==0

Considérons la courbe parabolique

yz^Ax* -f Bx3 -f Cx9- -f Dx -f E

De part et d'autre de l'origine, elle s'élève jusqu'à l'in-
fini positif, et elle est essentiellement limitée dans le sens des
ordonnées négatives.

Une droite quelconque peut ne pas rencontrer la courbe,
ou bien la couper en deux on quatre points. La courbe