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https://doi.org/10.11588/diglit.37490#0511
parabolisch
501
Waradis
VIII. In derNatur istz. B. dieKurve, welche ein schief
geworfener Körper oder ein Wasserstrahl bildet, eine P.,
wenn vom Luftwiderstand abgesehen wird. Ebenso giebk
diese Kurve die Form einer Kette an, bei welcher gleiche
horizontal gemessene Längen gleichviel wiegen und außer
der Schwere keine Kraft wirkt. Sie kann daher oft statt der
gemeinen Kettenlinie genommen werden. Auch kann sie,
wie jeder andere Kegelschnitt, die Bahn eines Himmels-
körpers, z. B. eines Kometen, angebcn re.
IX. Außerder hier betrachteten, wohl auch nach Apollo-
nius, einem der ersten Untersuchen der Kegelschnitte, so
genannten apollonischen P., belegt man noch eine Reihe
anderer krummer Linien mit diesem Namen. Hierher ge-
hören z.B. die kubische P. (s. d.Art. Kubisch), die Neilschc
P. (s. d.) re. Insbesondere versteht man unter P. höheren
Grades solche krumme Linien, bei welchen die Ordinate
eine ganze algebraische rationale FunktionderAbscisse ist,
d. h. deren Gleichung die Form besitzt:
^X-s-Lx > 6x^-st vx»-s- ...
Vgl. auch d. Art.Hyperbeln., Brennpunktu. Direktrix,
lieber die Eigenschaften der P. in Beziehung auf Licht u.
Schall s. Akustik und Licht.
parabolisch, allst, nennt man 1. eine ebene Kurve,
deren Gleichung an die der gewöhnlichen Parabel erinnert
(s. d. Art. Parabel IX.). — 2. Einen Cylinder, bei welchem
die Grundfläche eine Parabel ist; er entsteht durch die Be-
wegung einer geraden Linie, welche immer parallel zu sich
selbst bleibt und dabei auf einer festen Parabel hingleitet.
— 3. Einen Kegel, wenn seine Grundfläche eine Parabel
ist; aus jedem Kreiskegel kann man Parabeln, aus jedem
parabolischen Kegel Kreisbogen schneiden. — 4. Eine
Spirale (s. d.).
ParAbsioiL,ri., gemeinsamer Name für zwei Flächen-
arten zweiten Grades. Beide erstrecken sich in die Unend-
lichkeit, beide bestehen aus einem einzigen Flächenzweig.
Unterschieden werden beide durch die Namen „elliptisches
P." u. „hyperbolisches PA, weil ersteres nur iu Ellipsen
und Parabeln, letzteres nur in Hyperbeln und Parabeln
geschnitten werden kann. 1. Das elliptische P. entsteht
auf folgende Weise: In zwei auf einander senkrechten
Ebenen des Raumes sind zwei rm allgemeinen nicht kon-
gruente Parabeln konstruirt, deren Achsen aber in der
Durchschnittslinie beider Ebenen liegen u. deren Scheitel
aus einander fallen. Läßt man nun eine Ebene sich senk-
recht aus der Durchschnittskame fortbewegen so bestimmt
diese in jeder ihrer Lagen 4 Dnrchschnittspunkte mit den
beiden Parabeln, welche als Scheitel einer dadurch völlig
bestimmten Ellipse angesehen werden können. Die Gesamt-
heit aller Peripherien dieser Ellipsen bildet die in Rede
stehende Fläche. Wird der gemeinsame Scheitel beider
Parabeln zum Ansangspunk't eines rechtwinkligen Koor-
dinatensystems gemacht und die gemeinsame Achse zur
x-Achse, liegen ferner die V- und 2-Achse'in den Scheitel-
st i)^
tangenten und sind u. die Parameter beider Pa-
rabeln, so hat man als Gleichung des elliptischen P.s:
^ 2 2 2 2x
-j- ^ — Sind die beiden Parabeln kongruent, ist
also x----g, so erhält man das Rotations-P., welches
also auch durch Umdrehung einer Parabel um ihre Achse
entsteht. — Das elliptische P. kann durch gewisse Ebenen
in Kreisen geschnitten werden, besitzt also Kreisschnitte.
Hyperbolische Schnitte sind unmöglich Der Inhalt eines
Körpers, welcher von einem elliptischen P. und einer aus
der Achse senkrecht stehenden Ebene begrenzt wird, ist gleich
1/2 Xtt, wo X die Grundfläche, tt die Höhe desselben ist.
Ebenso ist der Inhalt eines Stumpfes, welcher von der
Fläche und zwei auf der Achse senkrechten Ebenen begrenzt
wird, 1/2 lr (Ist -stIst), wobei X, u. ist die beiden Grund-
stächen bedeuten. Die KomplanaLion des P.s ist nur mit
urund
, 2 ^ 2x
' b m o'
Hülfe elliptischerJntegralemöglich. 2. Das hyperbolische
P. (s.d. Art. Hyperbolisch 4. u. HbPerboloidIV.) hatzwar
auchzwei Parabeln, welche densel ben Scheitel und dieselbe
Achse haben, zu Leitlinien, aber diese Parabeln liegen
nichtnach derselben Seite hin, sondern gehen riach entgegen-
gesetzter Richtung ins Unendliche. Die Erzeugungskurven
werden dadurch Hyperbeln; doch entsteht diese Fläche auch
dadurch, daß eiue jener Parabeln, z. B. die horizontale,
sich ohne Veränderung ihrer Gestalt so fortbewegt, daß
ihre Ebene sowohl als auch ihre Achse sich parallel bleiben
und dabei ihr Scheitel auf der andern Parabel hingleitet.
Auf diese Weise erhält man eine snttelförmigeFläche. Ge-
schieht die Wahl des Koordinatensystems wie vorher, und
s? Ist
bedeuten wiederum — u. — die Parameter der beiden Pa-
oo 2 ^2 ' 2x
rabeln, so wird die Gleichung dcrFlächc: ^ — str stst
Während das elliptische P. mit der dritten Koordinaten-
ebene, der VX-Ebene, nur einen Punkt gemein hatte,
schneidet die neue Fläche dieselbe in den zwei geraden Lin ien:
z,/a -st L/d — 0 und v/s — rr/I> — 0. Ueberhaupt lassen
sich aus der Fläche durch jeden Punkt zwei gerade Linien
ziehen, welche ganz in die Flüche hineinfallen; diese zu-
sammcngefaßt, machen zwei Systeme ans, eines derselben
hat die Gleichung :
V , 2 . V 2 2x
-st — -- m und - ------ —,
SV so nao
das andere dagegen:
^ —^ ^
s i)
wobei vi jeden beliebigen Werth haben kann , Jede gerade
Linie des einen Systems schneidet keine einzige desselben
Systems, wohl aber alle Geraden des andern Systems,
alle sind der VX-Ebene parallel. Die Fläche selbst kann
als Gesamtheit allerdieser Geraden ausgefaßt werden und
entsteht somit auch, wenn eine gerade Linie sich so bewegt,
daß sie immer zwei feste gerade Linien schneidet und dabei
zu einer Ebene stets parallel bleibt. Das hyperbolische P.
ist hiernach eine der geradlinigen windschiefen Flächen.
Aus ihm lassen sich nur Parabeln, Hyperbeln u. (s. oben)
gerade Linien schneiden, nie aber Ellipsen, vor allem also
keine Kreise. Rotationsfläche kann es infolge dessen nie
werden.
I'LruZrr) I, mittelalt.-lat., Zelt; Kajüte a. d. Oberdeck.
8., engl., Freiheit, Hochplan, s. Esplanade.
Purübrbrtst u, frz. lit cl'sppsrst, s. Katafalk.
Paradesirnmer, u.; solche Uegen im Haupttheil eines
Palastes, bei eleganten Wohngebäuden im Hauptgeschoß,
sind mit reicher Architektur auszustattcn und zerfallen bei
Palästen in Audienz-, Gesellschaftszimmer und Säle.
PurKÄlLS, u.(von Thiergarten, Park), frz.
^srsäis, ro.., engl, xsrsäiss, Lustgarten, Eden, Aufent-
halt des ersten Meuschenpares vor dem Sündenfall. Da-
her überhaupt angenehmer Auscuihalt, Park, auch spott-
weise die oberste Gallerie im Theater, lieber die Flüsse
des Paradieses s. Berg 7. Vergl. Paradis.
WaritÄtesbaum- ru., Oleaster, falscher oder böhmischer
Oetbaum (XIsosAuus LuZrmlilolius X., Fant. Xlsssx-
nsss), ist inSüdeuropa einheimisch; sein festes Holz wird
vom Drechsler und zum Braunfärben benutz!.
PKr«biesfLlgL, I., s. d. Art. Banane.
ParadirshsH, n., l. s.v.w. Adlerholz, vergl. Alocholz.
— 2. Holz des Paradiesbaumes.
VrttMöiSs u., perwisch, irr., TrpoaöXvv, Trpckttav, L-(w8v<;,
omXrj rX V«j-S7sxo; frz. xsrvi«, I»., engl.psr-
viss, suta-lsiuplL, aliengi. xsrv^se, ^silios, lat. xsrvi-
8ium,siQbriIs6u1urQ,xsrs<Iisu8,sr6S äspsrasLudäislis,
oft fälschlich Paradies (s.d.) geschrieben; das Atrium alt-
christlicher Basiliken (s.d. sub 2. cl.j; die äußere Vorhalle
mittelalterlicher Kirchen; s.d.Art.Gothisch §. und Kirche.
Der Name ist nicht vonTr^LS^ao;, Lustgarten, Eden, son-
501
Waradis
VIII. In derNatur istz. B. dieKurve, welche ein schief
geworfener Körper oder ein Wasserstrahl bildet, eine P.,
wenn vom Luftwiderstand abgesehen wird. Ebenso giebk
diese Kurve die Form einer Kette an, bei welcher gleiche
horizontal gemessene Längen gleichviel wiegen und außer
der Schwere keine Kraft wirkt. Sie kann daher oft statt der
gemeinen Kettenlinie genommen werden. Auch kann sie,
wie jeder andere Kegelschnitt, die Bahn eines Himmels-
körpers, z. B. eines Kometen, angebcn re.
IX. Außerder hier betrachteten, wohl auch nach Apollo-
nius, einem der ersten Untersuchen der Kegelschnitte, so
genannten apollonischen P., belegt man noch eine Reihe
anderer krummer Linien mit diesem Namen. Hierher ge-
hören z.B. die kubische P. (s. d.Art. Kubisch), die Neilschc
P. (s. d.) re. Insbesondere versteht man unter P. höheren
Grades solche krumme Linien, bei welchen die Ordinate
eine ganze algebraische rationale FunktionderAbscisse ist,
d. h. deren Gleichung die Form besitzt:
^X-s-Lx > 6x^-st vx»-s- ...
Vgl. auch d. Art.Hyperbeln., Brennpunktu. Direktrix,
lieber die Eigenschaften der P. in Beziehung auf Licht u.
Schall s. Akustik und Licht.
parabolisch, allst, nennt man 1. eine ebene Kurve,
deren Gleichung an die der gewöhnlichen Parabel erinnert
(s. d. Art. Parabel IX.). — 2. Einen Cylinder, bei welchem
die Grundfläche eine Parabel ist; er entsteht durch die Be-
wegung einer geraden Linie, welche immer parallel zu sich
selbst bleibt und dabei auf einer festen Parabel hingleitet.
— 3. Einen Kegel, wenn seine Grundfläche eine Parabel
ist; aus jedem Kreiskegel kann man Parabeln, aus jedem
parabolischen Kegel Kreisbogen schneiden. — 4. Eine
Spirale (s. d.).
ParAbsioiL,ri., gemeinsamer Name für zwei Flächen-
arten zweiten Grades. Beide erstrecken sich in die Unend-
lichkeit, beide bestehen aus einem einzigen Flächenzweig.
Unterschieden werden beide durch die Namen „elliptisches
P." u. „hyperbolisches PA, weil ersteres nur iu Ellipsen
und Parabeln, letzteres nur in Hyperbeln und Parabeln
geschnitten werden kann. 1. Das elliptische P. entsteht
auf folgende Weise: In zwei auf einander senkrechten
Ebenen des Raumes sind zwei rm allgemeinen nicht kon-
gruente Parabeln konstruirt, deren Achsen aber in der
Durchschnittslinie beider Ebenen liegen u. deren Scheitel
aus einander fallen. Läßt man nun eine Ebene sich senk-
recht aus der Durchschnittskame fortbewegen so bestimmt
diese in jeder ihrer Lagen 4 Dnrchschnittspunkte mit den
beiden Parabeln, welche als Scheitel einer dadurch völlig
bestimmten Ellipse angesehen werden können. Die Gesamt-
heit aller Peripherien dieser Ellipsen bildet die in Rede
stehende Fläche. Wird der gemeinsame Scheitel beider
Parabeln zum Ansangspunk't eines rechtwinkligen Koor-
dinatensystems gemacht und die gemeinsame Achse zur
x-Achse, liegen ferner die V- und 2-Achse'in den Scheitel-
st i)^
tangenten und sind u. die Parameter beider Pa-
rabeln, so hat man als Gleichung des elliptischen P.s:
^ 2 2 2 2x
-j- ^ — Sind die beiden Parabeln kongruent, ist
also x----g, so erhält man das Rotations-P., welches
also auch durch Umdrehung einer Parabel um ihre Achse
entsteht. — Das elliptische P. kann durch gewisse Ebenen
in Kreisen geschnitten werden, besitzt also Kreisschnitte.
Hyperbolische Schnitte sind unmöglich Der Inhalt eines
Körpers, welcher von einem elliptischen P. und einer aus
der Achse senkrecht stehenden Ebene begrenzt wird, ist gleich
1/2 Xtt, wo X die Grundfläche, tt die Höhe desselben ist.
Ebenso ist der Inhalt eines Stumpfes, welcher von der
Fläche und zwei auf der Achse senkrechten Ebenen begrenzt
wird, 1/2 lr (Ist -stIst), wobei X, u. ist die beiden Grund-
stächen bedeuten. Die KomplanaLion des P.s ist nur mit
urund
, 2 ^ 2x
' b m o'
Hülfe elliptischerJntegralemöglich. 2. Das hyperbolische
P. (s.d. Art. Hyperbolisch 4. u. HbPerboloidIV.) hatzwar
auchzwei Parabeln, welche densel ben Scheitel und dieselbe
Achse haben, zu Leitlinien, aber diese Parabeln liegen
nichtnach derselben Seite hin, sondern gehen riach entgegen-
gesetzter Richtung ins Unendliche. Die Erzeugungskurven
werden dadurch Hyperbeln; doch entsteht diese Fläche auch
dadurch, daß eiue jener Parabeln, z. B. die horizontale,
sich ohne Veränderung ihrer Gestalt so fortbewegt, daß
ihre Ebene sowohl als auch ihre Achse sich parallel bleiben
und dabei ihr Scheitel auf der andern Parabel hingleitet.
Auf diese Weise erhält man eine snttelförmigeFläche. Ge-
schieht die Wahl des Koordinatensystems wie vorher, und
s? Ist
bedeuten wiederum — u. — die Parameter der beiden Pa-
oo 2 ^2 ' 2x
rabeln, so wird die Gleichung dcrFlächc: ^ — str stst
Während das elliptische P. mit der dritten Koordinaten-
ebene, der VX-Ebene, nur einen Punkt gemein hatte,
schneidet die neue Fläche dieselbe in den zwei geraden Lin ien:
z,/a -st L/d — 0 und v/s — rr/I> — 0. Ueberhaupt lassen
sich aus der Fläche durch jeden Punkt zwei gerade Linien
ziehen, welche ganz in die Flüche hineinfallen; diese zu-
sammcngefaßt, machen zwei Systeme ans, eines derselben
hat die Gleichung :
V , 2 . V 2 2x
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SV so nao
das andere dagegen:
^ —^ ^
s i)
wobei vi jeden beliebigen Werth haben kann , Jede gerade
Linie des einen Systems schneidet keine einzige desselben
Systems, wohl aber alle Geraden des andern Systems,
alle sind der VX-Ebene parallel. Die Fläche selbst kann
als Gesamtheit allerdieser Geraden ausgefaßt werden und
entsteht somit auch, wenn eine gerade Linie sich so bewegt,
daß sie immer zwei feste gerade Linien schneidet und dabei
zu einer Ebene stets parallel bleibt. Das hyperbolische P.
ist hiernach eine der geradlinigen windschiefen Flächen.
Aus ihm lassen sich nur Parabeln, Hyperbeln u. (s. oben)
gerade Linien schneiden, nie aber Ellipsen, vor allem also
keine Kreise. Rotationsfläche kann es infolge dessen nie
werden.
I'LruZrr) I, mittelalt.-lat., Zelt; Kajüte a. d. Oberdeck.
8., engl., Freiheit, Hochplan, s. Esplanade.
Purübrbrtst u, frz. lit cl'sppsrst, s. Katafalk.
Paradesirnmer, u.; solche Uegen im Haupttheil eines
Palastes, bei eleganten Wohngebäuden im Hauptgeschoß,
sind mit reicher Architektur auszustattcn und zerfallen bei
Palästen in Audienz-, Gesellschaftszimmer und Säle.
PurKÄlLS, u.(von Thiergarten, Park), frz.
^srsäis, ro.., engl, xsrsäiss, Lustgarten, Eden, Aufent-
halt des ersten Meuschenpares vor dem Sündenfall. Da-
her überhaupt angenehmer Auscuihalt, Park, auch spott-
weise die oberste Gallerie im Theater, lieber die Flüsse
des Paradieses s. Berg 7. Vergl. Paradis.
WaritÄtesbaum- ru., Oleaster, falscher oder böhmischer
Oetbaum (XIsosAuus LuZrmlilolius X., Fant. Xlsssx-
nsss), ist inSüdeuropa einheimisch; sein festes Holz wird
vom Drechsler und zum Braunfärben benutz!.
PKr«biesfLlgL, I., s. d. Art. Banane.
ParadirshsH, n., l. s.v.w. Adlerholz, vergl. Alocholz.
— 2. Holz des Paradiesbaumes.
VrttMöiSs u., perwisch, irr., TrpoaöXvv, Trpckttav, L-(w8v<;,
omXrj rX V«j-S7sxo; frz. xsrvi«, I»., engl.psr-
viss, suta-lsiuplL, aliengi. xsrv^se, ^silios, lat. xsrvi-
8ium,siQbriIs6u1urQ,xsrs<Iisu8,sr6S äspsrasLudäislis,
oft fälschlich Paradies (s.d.) geschrieben; das Atrium alt-
christlicher Basiliken (s.d. sub 2. cl.j; die äußere Vorhalle
mittelalterlicher Kirchen; s.d.Art.Gothisch §. und Kirche.
Der Name ist nicht vonTr^LS^ao;, Lustgarten, Eden, son-