DOI Artikel:
Kolbe, Peter: Ornamente und Mosaike - zur Problematik ebener Flächenbedeckung
DOI Seite / Zitierlink: https://doi.org/10.11588/diglit.31833#0072
von Bedeutung ist : Jede Verknüpfung (Hintereinanderausführung
oder Mehrfachausführung) beliebiger Symmetrieoperationen der
Gruppe führt stets wieder auf eine einfache Symmetrieoperation
dieser Gruppe.
Neben den abstrakten Symmetrieeigenschaften einer Gruppe ist im
konkreten Fall die Festlegung der 'elementaren Objekte" der Ge-
samtheit und deren Eigenschaften von Interesse. Diese Objekte
werden in der Ornamentik als Elementar- oder Fundamen-
talbereich definiert: Der Fundamentalbereich ist ein
kleinster Flächenbereich des Ornamentes und besitzt selber keine
Symmetrie oder seine (innere) Symmetrie steht in keiner Beziehung
zur Symmetrie des Ornamentes. D. h., durch die innere Symmetrie
des Fundamentalbereiches darf die Symmetrie der Gesamtheit weder
erhöht noch erniedrigt werden.
Mit dieser Trennung von abstrakten Symmetrieoperationen einer-
seits und konkreten Fundamenta1bereichen andererseits ist gleich-
zeitig eine klare Trennung von gesetzmäßig Festgelegtem und
künstlerisch (frei) Gestaltbarem gegeben, eine Eigenschaft, die
mit verantwort1ich sein dürfte für die bereits jahrtausende alte
Geschichte ornamentaler Gestaltungen.
Kennzeichnend für die Eigenschaften einer Symmetriegruppe als
auch für die Größe und Formvariabilität der Fundamentalbereibhe
dieser Gruppe ist die Transformationsart der zugrundeliegenden
Symmet rieoperationen:
Forme rhaltende Abbildungen sind Ähnlichkeitstransformationen, wo-
bei im speziellen Fall kongruenter (isometrischer) Decktransfor-
mationen zusätzlich die Größe des Fundamentalbereiches erhalten
bleibt. Nichtformerha1tenHe Transformationen sind z. B. affine
oder projektive Abbildungen. Derartige Transformationen führen zu
einer Vera1lgemeinerung des Symmetriebegriffs /18/ und sind im
Hinblick auf eine Erweiterung ornamentaler Gestaltungen von grund-
legendem Interesse .
Für die nachfo1genden Ableitungen der Symmetriegruppen der ebenen
(einseitigen) Ornamente werden jedoch ausschließlich kongruent.
(d. h. deckungsg1eiche) Abbildungen zugrundege1egt; diese Trans-
formationsklasse wird gewöhnlich mit dem Symmetriebegriff in Be-
ziehung gesetzt.
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oder Mehrfachausführung) beliebiger Symmetrieoperationen der
Gruppe führt stets wieder auf eine einfache Symmetrieoperation
dieser Gruppe.
Neben den abstrakten Symmetrieeigenschaften einer Gruppe ist im
konkreten Fall die Festlegung der 'elementaren Objekte" der Ge-
samtheit und deren Eigenschaften von Interesse. Diese Objekte
werden in der Ornamentik als Elementar- oder Fundamen-
talbereich definiert: Der Fundamentalbereich ist ein
kleinster Flächenbereich des Ornamentes und besitzt selber keine
Symmetrie oder seine (innere) Symmetrie steht in keiner Beziehung
zur Symmetrie des Ornamentes. D. h., durch die innere Symmetrie
des Fundamentalbereiches darf die Symmetrie der Gesamtheit weder
erhöht noch erniedrigt werden.
Mit dieser Trennung von abstrakten Symmetrieoperationen einer-
seits und konkreten Fundamenta1bereichen andererseits ist gleich-
zeitig eine klare Trennung von gesetzmäßig Festgelegtem und
künstlerisch (frei) Gestaltbarem gegeben, eine Eigenschaft, die
mit verantwort1ich sein dürfte für die bereits jahrtausende alte
Geschichte ornamentaler Gestaltungen.
Kennzeichnend für die Eigenschaften einer Symmetriegruppe als
auch für die Größe und Formvariabilität der Fundamentalbereibhe
dieser Gruppe ist die Transformationsart der zugrundeliegenden
Symmet rieoperationen:
Forme rhaltende Abbildungen sind Ähnlichkeitstransformationen, wo-
bei im speziellen Fall kongruenter (isometrischer) Decktransfor-
mationen zusätzlich die Größe des Fundamentalbereiches erhalten
bleibt. Nichtformerha1tenHe Transformationen sind z. B. affine
oder projektive Abbildungen. Derartige Transformationen führen zu
einer Vera1lgemeinerung des Symmetriebegriffs /18/ und sind im
Hinblick auf eine Erweiterung ornamentaler Gestaltungen von grund-
legendem Interesse .
Für die nachfo1genden Ableitungen der Symmetriegruppen der ebenen
(einseitigen) Ornamente werden jedoch ausschließlich kongruent.
(d. h. deckungsg1eiche) Abbildungen zugrundege1egt; diese Trans-
formationsklasse wird gewöhnlich mit dem Symmetriebegriff in Be-
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