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Kolbe, Peter: Ornamente und Mosaike - zur Problematik ebener Flächenbedeckung
DOI Page / Citation link:https://doi.org/10.11588/diglit.31833#0097
Diese regulären Unterteilungen der Ebene besitzen offenkundig
Symmetrien, die die Gesamtheit des Mosaiks in sich überführen und
somit innerhalb der 0rnamentgruppen anzutreffen sein müssen. Als
(mögliches) erzeugendes System für die Symmetrieoperationen eines
einzelnen Mosaik-Bausteins lassen sich jeweils zwei Spiegelge-
raden durch das Zentrum (eine durch den Eckpunkt, die andere
durch den benachbarten Seitenmittelpunkt) finden, die zusammen
mit einer Spiegelgeraden durch dieselbe Seite das gesamte Mosaik
aufbauen. Damit sind die "Kaleidoskop-Gruppen" p4m (für das Mosa-
ik |4,4)) , p6m (fürdas Mosaik £ 6,3 j) und p31m (für das Mosaik
|3,6|) die zugehörigen Symmetriegruppen /13/ der regulären Mosaike.
4.2. Sphärische und hyperbolische Mosail^e
Innerhalb der regulären Unterteilungen existiert eine sehr
interessante - und für die zugrundeliegende Geometrie sogar
fundamentale - Erweiterung: Fragt man z. B. nach den Möglichkeiten
für eine derartige regelmäßige Unterteilung mit regelmäßigen
Flächenelementen auf der Kugeloberfläche®^, so erhält man als be-
stimmende Ungleichung die Beziehung
(p - 2)(q - 2) < 4
die für ganzzahlige (positive) Werte für p und q zu folgenden
Lösungen führt (Schläf1i-Symbo1ik):
[2.q], jp.2},; {3,3}. [3,4), [4,3}, {3.5}. (5.3}
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Symmetrien, die die Gesamtheit des Mosaiks in sich überführen und
somit innerhalb der 0rnamentgruppen anzutreffen sein müssen. Als
(mögliches) erzeugendes System für die Symmetrieoperationen eines
einzelnen Mosaik-Bausteins lassen sich jeweils zwei Spiegelge-
raden durch das Zentrum (eine durch den Eckpunkt, die andere
durch den benachbarten Seitenmittelpunkt) finden, die zusammen
mit einer Spiegelgeraden durch dieselbe Seite das gesamte Mosaik
aufbauen. Damit sind die "Kaleidoskop-Gruppen" p4m (für das Mosa-
ik |4,4)) , p6m (fürdas Mosaik £ 6,3 j) und p31m (für das Mosaik
|3,6|) die zugehörigen Symmetriegruppen /13/ der regulären Mosaike.
4.2. Sphärische und hyperbolische Mosail^e
Innerhalb der regulären Unterteilungen existiert eine sehr
interessante - und für die zugrundeliegende Geometrie sogar
fundamentale - Erweiterung: Fragt man z. B. nach den Möglichkeiten
für eine derartige regelmäßige Unterteilung mit regelmäßigen
Flächenelementen auf der Kugeloberfläche®^, so erhält man als be-
stimmende Ungleichung die Beziehung
(p - 2)(q - 2) < 4
die für ganzzahlige (positive) Werte für p und q zu folgenden
Lösungen führt (Schläf1i-Symbo1ik):
[2.q], jp.2},; {3,3}. [3,4), [4,3}, {3.5}. (5.3}
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