Abgesehen von den beiden ersten Grenzfällen (die zum ersten einer
"Reihung" von q mondförmigen "Zweiecken" um die Kugel entsprechen
und zum zweiten einer Anordnung von jeweils zwei die gesamte
Halbkugel überdeckenden p-Ecke) ergeben sich die nachfolgenden 5
sphärischen Unterteilungen aus der Zentralprojektion der fünf
Platonischen Körper auf die Kugeloberfläche (Tetraeder, Oktaeder,
Kubus (Hexaeder), Ikosaeder und Dodekaeder).
Dieses Bild zeigt die Unter-
teilung der Kugeloberfläche
für den Fall |5,3j
Bildet man durch eine nachträgliche Para1le1projektion die
sphärische Unterteilung auf die Euklidische Grundebene ab, so er-
hält man die sogenannten "Sphärischen Mosaike", die mit den glei-
chen Symbolen bezeichnet werden /13/.
Bezeichnend für die sphärischen Mosaike ist der Grundgedanke der
Unterteilung einer "Nichteuklidischen" Ebene - wie sie die Kugel-
oberfläche darstellt - in reguläre Elementarflächen . Gleichfails
Nichteuklidisch ist die hyperbolische Ebene. Ein anschauliches
Euklidisches Modell etwa einer regulären Unterteilung dieser
hyperbolischen Ebene ist aber unter Zugrundelegung der "klassi-
schen" Symmetrietransformationen nicht möglich und erfordert die
Einführung einer qualitativ neuen Abbildungsart, z. B. der "In-
version am Kreis". Damit wird zugleich auf eine Möglichkeit der
Erweiterung ornamentaler Gestaltungen hingewiesen: durch Ände-
rung der zugrundeliegenden Transformationsbeziehung. Die Inver-
sion am Kreis ist eine nichtlineare Abbildung und füh■ l das
"Innere" eines Inversionskreises vollständig in sein "Äußeres"
über und umgekehrt; dabei bleibt der Inversionskreis selber in-
variant. Für einen zum Punkt P inversen Punkt P' gilt die Be-
ziehung:
OP • OP' = R 2
6) Die Winkelsumme sphärischer Dreiecke ist größer alsTT(180°).
9b
"Reihung" von q mondförmigen "Zweiecken" um die Kugel entsprechen
und zum zweiten einer Anordnung von jeweils zwei die gesamte
Halbkugel überdeckenden p-Ecke) ergeben sich die nachfolgenden 5
sphärischen Unterteilungen aus der Zentralprojektion der fünf
Platonischen Körper auf die Kugeloberfläche (Tetraeder, Oktaeder,
Kubus (Hexaeder), Ikosaeder und Dodekaeder).
Dieses Bild zeigt die Unter-
teilung der Kugeloberfläche
für den Fall |5,3j
Bildet man durch eine nachträgliche Para1le1projektion die
sphärische Unterteilung auf die Euklidische Grundebene ab, so er-
hält man die sogenannten "Sphärischen Mosaike", die mit den glei-
chen Symbolen bezeichnet werden /13/.
Bezeichnend für die sphärischen Mosaike ist der Grundgedanke der
Unterteilung einer "Nichteuklidischen" Ebene - wie sie die Kugel-
oberfläche darstellt - in reguläre Elementarflächen . Gleichfails
Nichteuklidisch ist die hyperbolische Ebene. Ein anschauliches
Euklidisches Modell etwa einer regulären Unterteilung dieser
hyperbolischen Ebene ist aber unter Zugrundelegung der "klassi-
schen" Symmetrietransformationen nicht möglich und erfordert die
Einführung einer qualitativ neuen Abbildungsart, z. B. der "In-
version am Kreis". Damit wird zugleich auf eine Möglichkeit der
Erweiterung ornamentaler Gestaltungen hingewiesen: durch Ände-
rung der zugrundeliegenden Transformationsbeziehung. Die Inver-
sion am Kreis ist eine nichtlineare Abbildung und füh■ l das
"Innere" eines Inversionskreises vollständig in sein "Äußeres"
über und umgekehrt; dabei bleibt der Inversionskreis selber in-
variant. Für einen zum Punkt P inversen Punkt P' gilt die Be-
ziehung:
OP • OP' = R 2
6) Die Winkelsumme sphärischer Dreiecke ist größer alsTT(180°).
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