Zeitschrift für Ästhetik und allgemeine Kunstwissenschaft — 28.1934

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BESPRECHUNGEN

außerdem in einer Entfernung von wenigstens, einem Sechstel der Breite des
Vielecks von beiden lotrechten Linien, die durch die Endpunkte der Grundlinie
zu ziehen sind. Falls das nicht zutrifft, das Vieleck sich aber doch im mecha-
nischen Gleichgewicht befindet, ist E gleich null zu setzen. Wenn weder optisches
noch mechanisches Gleichgewicht vorhanden sind, ist E gleich —1.

3. R, d. h. Symmetrie des Drehens (rotational symmetry), die gleich q/2 zu
setzen ist, wobei q die Anzahl von Teildrehungen ist, die das Vieleck in sich
überführen. R soll aber nicht größer als 3 sein.

4. HV, d. h. Beziehung zu einem Netz von senkrechten und wagerechten
Linien, die mit 2, mit 1 oder mit null zu werten sind. Die Bedingungen hierfür
sind zu verwickelt, um hier angegeben zu werden.

5. F, d. h. das negative Element der unzulänglichen Form, das mit null,
mit —1 oder mit —2 zu werten ist. Die Umstände, die man zu berücksichtigen
hat, sind u. a. die folgenden: Kein Winkel darf zu klein sein. Die Entfernungen
zwischen Winkeln und zwischen parallelen Seiten dürfen nicht zu klein sein. Die
Seiten dürfen in höchstens zwei unverwandten Richtungen laufen. V und R dürfen
nicht zugleich null sein.

Diese fünf Elemente der Ordnung werden einfach zusammengezählt und
durch den Wert von 0 dividiert, um die Wertung eines Vielecks festzustellen.
Die Formel wird von Birkhoff auf 90 Vielecke angewandt, die mit den Ergebnissen
abgedruckt werden. Im dritten Kapitel werden die Zierrate und Mosaike behandelt,
die ähnlich wie Vielecke gewertet werden.

Die Formel wird im vierten Kapitel auf Vasen übertragen, wobei die Beziehun-
gen zwischen bestimmten Punkten der Konturen der Vase und den daran liegenden
Tangenten maßgebend sind. Mathematisch ausgedrückt sind es: die Punkte der
Konturen, wo die Tangenten senkrecht sind; die kritischen Punkte, wo die Kurve
sich von konkav in konvex oder umgekehrt wandelt; die Endpunkte der Konturen
und die Eckpunkte, wo sich die Konturen plötzlich ändern. Die Formel wird an
23 abgebildeten chinesischen Vasen ausprobiert. Drei Abbildungen von Vasen wer-
den gegeben, die versuchsweise konstruiert worden sind, um den Forderungen der
Theorie zu entsprechen, und es wird dem Leser überlassen, zu beurteilen, ob die
Ergebnisse den ästhetischen Empfindungen angemessen sind.

Die folgenden drei Kapitel wenden die Theorie auf die Musik an. Hier wird
der Versuch gemacht, die Harmonie von Akkorden und Melodien nach einer
mathematischen Formel zu messen. Auf diese komplizierten Ausführungen gehen
wir nicht näher ein, sondern stellen nur fest, daß eine Analyse des Wohlklanges
gegeben wird, soweit sie sich nicht auf die physikalische Schallerzeugung bezieht.
Zum Beispiel erwartet das Ohr, daß eine Melodie im Grundakkord beginnt; wenn
das der Fall ist, wird es als ein Element der Ordnung, mithin als schön empfunden
und in der Formel positiv gewertet. Eine Reihenfolge von ausschließlich harmo-
nischen Akkorden wird als langweilig empfunden. Diese Theorie geht einen
Schritt hinter die empirische Harmonielehre zurück, steht aber im Einklang mit
ihren Prinzipien, wie Birkhoff zeigt. Es fragt sich jedoch, ob wirklich etwas Neues
in der mathematischen Wertung vorhanden ist, denn die Ergebnisse werden als
nur approximativ hingestellt, und als Analyse von empfundenem Wohlklang ist
die Theorie dieselbe wie in der gewöhnlichen Musiklehre.

Danach wendet Birkhoff seine Theorie auf das Musikalische in der Poesie an.
Diese Aufgabe erweist sich als wesentlich einfacher als die Anwendung auf die
Musik. Es sind nur fünf Elemente der Ordnung, die in Betracht gezogen werden
müssen: Reim, Alliteration und Assonanz, Überfluß von Alliteration oder Asso-
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