Heidelberger Jahrbücher der Literatur (51,1.1858)

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Schoof: Arithmetik und Algebra.

Arithmetik und Algebra u. s. w. von Ch. Lud. Schoof. Zweites Heft. Potenzen,
Wurzeln und Logarithmen; Reihen, Kettenbrüche und diophantische Gleich-
ungen. Hannover u. s. w. '1858. 187 S. in 8.
Auch im zweiten Hefte ist im Allgemeinen der Stoff mehr übersichtlich
behandelt und nur selten auf ausführlichere Entwickelungen eingegangen,
so dass auch diese Abtheilung vorzugsweise Solchen zu empfehlen wäre, die
sich nicht zum ersten Male daraus belehren, sondern zur Wiederholung sich
die Algebra nochmals vorführen wollen.
Den Anfang dieses Heftes machen die Bildungsgesetze der zweiten und
dritten Potenz der (reellen) Zahlen, sowie darauf gegründet die Aufsuchung
der Quadrat- nnd Kubikwurzel. Was dabei gelegentlich von den imaginären
Zahlen der Form y'' — a gesagt, namentlich hinsichtlich der geometrischen
Ausdeutung derselben, mag hier auf sich beruhen, da Referent in diesen Blät-
tern schon vielmal seine Meinung über diese „Erweiterung“ ausgesprochen
und seither noch keinerlei Veranlassung gefunden hat, davon abzugehen. Die
Auflösung der quadratischen Gleichungen, die auf mehrfache Weise durchge-
führt wird, schliesst sich hier naturgemäss an; und ebenso ist die Cardanische
Formel für die kubischen Gleichungen abgeleitet, jedoch die Rechnung nicht
so weit geführt, dass man den sogenannten irreductibeln Fall zu behandeln
im Stande wäre.
Hieran schliesst sich die Behandlung der höheren (allgemeinen) Potenzen
und Wurzeln. „Wie, sagt das Buch, der Exponent auf additivem Wege aus
der Einheit entstanden ist, so muss die Potenz auf multiplikativem Wege aus
der Wurzel entstehen.“ Mittelst dieser Definition, die freilich nicht neu ist,
lässt sich allerdings die Bedeutung von a4, a4, a , ä1 angeben, ob aber für
das wirkliche Verständniss etwas damit gewonnen ist, möchte Referent bezweifeln.
Es scheint vielmehr weit zweckmässiger, und ist wohl auch dem natürlichen
Gange stufenweiser Erweiterung der mathematischen Kenntnisse viel angemes-
sener, zunächst nur die Potenzen mit positiven ganzen Exponenten und die
bei denselben klar hervortretenden Rechnungsgesetze zu betrachten; von den-
selben sodann zu den Potenzen mit negativen ganzen Exponenten überzugehen,
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und nachzuweisen, dass, unter der Voraussetzung, än sei ein Zeichen für an,
mit diesen Potenzen sich genau in derselben Weise rechnen lasse, wie mit
den vorhergehenden; alsdann die Wurzelgrössen, und endlich die Potenzen
mit gebrochenen Exponenten zu behandeln. Ist dieser Weg auch etwas weit-
läufiger, so hat er den grossen Vortheil, dass der Leser (oder Schüler) immer
sich bewusst bleibt, was er thut, und nicht durch eine allgemeine Definition
in ein geheimnissvolles Halbdunkel eingehüllt wird. So ist es unserem Buche
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in nicht lobenswerther Weise begegnet, die Gleichung y'' am = yzalnr da-
ni ror
durch zu beweisen, dass — = — also a» = allr sei; damit freilich wäre
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die Sache gleich abgethan, wenn dies nur nicht leider reines Spiel mit
Zeichen wäre. Mehrfach ist ein Begehen des rechten Weges angefangen,