DOI Heft:
Nr. 5
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Brioschi: Theorie der Determinanten etc.
79
jedes Produkt das + oder ~ Zeichen hat, je nachdem die Zusammenstellung
der ersten Zeiger durch eine gerade oder ungerade Anzahl Versetzungen je
zweier Elemente aus der ersten Zusammenstellung.* 123..n entstanden ist. So
wäre also aus den drei Reihen ai,p ai,2’ a^; a2,r 82,2’ a2,3’ a3,i’ a3,2* a3,3 die
Determinante: ai,i a2,2 a3,3 — ai,i 83,2 82,3 + 82,1 a3>2 ai,3 — a2,i ab2 a353
-f- a3>i ai>2 a2?3 a3>i a2i2 ai>3- In Bezug auf die Zeichenregel kann man
übrigens auch bemerken, dass das -j- Zeichen dann dem betreffenden Produkt
vorgesetzt werden muss, wenn eine gerade Anzahl höherer erster Zeiger vor
niederem steht, das — Zeichen im andern Falle. Die Bezeicbnungsweise der
Determinanten ist verschieden; am meisten gebräuchlich ist jetzt die von den
englischen Mathematikern und mehrern deutschen angewendete, wornach die
Determinante der obigen n2 Grössen durch
al>l
al,2
• abn
a2,l
a2,2 ••
• a2>n
an ,1
an ,2 .
... an,n
(a)
da2;S
P L J
—, während
^s,n
dargestellt wird. Diese Beziehung ist zwar für Schrift und Druck etwas weit-
läufig, sicher aber klarer, als jede andere, da sie eben alle Elemente, die in
die Determinante eintreten, enthält.
Von dieser (allgemeinsten) Determinante, die wir durch P bezeichnen
wollen, werden nun eine Reihe von Sätzen nachgewiesen oder wenigstens
aufgeführt. Zuerst wird behauptet, es folge aus dem Bildungsgesetz der De-
terminante, dass man, statt die ersten Zeiger zu permutiren und dann die
zweiten in der Ordnung l,2,..,n zuzufügen, auch umgekehrt die zweiten per-
mutiren und die ersten in dieser Ordnung beifügen könne, ohne dass der
Werth der Determinante sich ändert. Referent muss gestehen, dass ihm dies
nicht so ohne Weiteres klar gewesen ist, und er hat sich desshalb einen Be-
weis dafür gesucht, den er aber hier nicht anführen kann. Es ist, wollen
wir bei dieser Gelegenheit bemerken, das vorliegende Buch überhaupt sehr
kurz, und muss mit der Feder in der Hand, die dabei sehr viel zu thun
hat, studirt werden. Eben so wird als sich von selbst verstehend gesagt, dass
wenn man überall die zweiten Zeiger r und s (beliebig) vertausche, die De-
terminante ihr Zeichen wechsle, was auch gelte, wenn man zwei erste Zei-
ger vertauscht. Auch dieser Satz bedarf wohl eines besondern Beweises, der
keineswegs schwierig ist. Einige hieraus sich weiter ergebende Folgerungen
übergehend, wollen wir die Differentialquotienten von P näher betrachten.
dP , .
Die Grösse 3-ist eine Determinante, die man bekommt, wenn man oben in
aar,s
(a) die rte Horizontal- und die ste Vertikalreihe wegstreicht. Diese Grösse
enthält also weder den ersten Zeiger r, noch den zweiten Zeiger s. Daraus
lässt sich dann leicht weiter auf zweite Differentialquotienten schliessen, wie
dies im Buche auch geschieht. Auch folgt ganz unmittelbar:
dP , dP , . dP dP
79
jedes Produkt das + oder ~ Zeichen hat, je nachdem die Zusammenstellung
der ersten Zeiger durch eine gerade oder ungerade Anzahl Versetzungen je
zweier Elemente aus der ersten Zusammenstellung.* 123..n entstanden ist. So
wäre also aus den drei Reihen ai,p ai,2’ a^; a2,r 82,2’ a2,3’ a3,i’ a3,2* a3,3 die
Determinante: ai,i a2,2 a3,3 — ai,i 83,2 82,3 + 82,1 a3>2 ai,3 — a2,i ab2 a353
-f- a3>i ai>2 a2?3 a3>i a2i2 ai>3- In Bezug auf die Zeichenregel kann man
übrigens auch bemerken, dass das -j- Zeichen dann dem betreffenden Produkt
vorgesetzt werden muss, wenn eine gerade Anzahl höherer erster Zeiger vor
niederem steht, das — Zeichen im andern Falle. Die Bezeicbnungsweise der
Determinanten ist verschieden; am meisten gebräuchlich ist jetzt die von den
englischen Mathematikern und mehrern deutschen angewendete, wornach die
Determinante der obigen n2 Grössen durch
al>l
al,2
• abn
a2,l
a2,2 ••
• a2>n
an ,1
an ,2 .
... an,n
(a)
da2;S
P L J
—, während
^s,n
dargestellt wird. Diese Beziehung ist zwar für Schrift und Druck etwas weit-
läufig, sicher aber klarer, als jede andere, da sie eben alle Elemente, die in
die Determinante eintreten, enthält.
Von dieser (allgemeinsten) Determinante, die wir durch P bezeichnen
wollen, werden nun eine Reihe von Sätzen nachgewiesen oder wenigstens
aufgeführt. Zuerst wird behauptet, es folge aus dem Bildungsgesetz der De-
terminante, dass man, statt die ersten Zeiger zu permutiren und dann die
zweiten in der Ordnung l,2,..,n zuzufügen, auch umgekehrt die zweiten per-
mutiren und die ersten in dieser Ordnung beifügen könne, ohne dass der
Werth der Determinante sich ändert. Referent muss gestehen, dass ihm dies
nicht so ohne Weiteres klar gewesen ist, und er hat sich desshalb einen Be-
weis dafür gesucht, den er aber hier nicht anführen kann. Es ist, wollen
wir bei dieser Gelegenheit bemerken, das vorliegende Buch überhaupt sehr
kurz, und muss mit der Feder in der Hand, die dabei sehr viel zu thun
hat, studirt werden. Eben so wird als sich von selbst verstehend gesagt, dass
wenn man überall die zweiten Zeiger r und s (beliebig) vertausche, die De-
terminante ihr Zeichen wechsle, was auch gelte, wenn man zwei erste Zei-
ger vertauscht. Auch dieser Satz bedarf wohl eines besondern Beweises, der
keineswegs schwierig ist. Einige hieraus sich weiter ergebende Folgerungen
übergehend, wollen wir die Differentialquotienten von P näher betrachten.
dP , .
Die Grösse 3-ist eine Determinante, die man bekommt, wenn man oben in
aar,s
(a) die rte Horizontal- und die ste Vertikalreihe wegstreicht. Diese Grösse
enthält also weder den ersten Zeiger r, noch den zweiten Zeiger s. Daraus
lässt sich dann leicht weiter auf zweite Differentialquotienten schliessen, wie
dies im Buche auch geschieht. Auch folgt ganz unmittelbar:
dP , dP , . dP dP