Heidelberger Jahrbücher der Literatur (50,1.1857)

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Brioschi: Theorie der Determinanten etc.



as,n w-— o, wo r und s beliebig, nur nicht r = s.
uär n

T,n

Mittelst dieser Sätze ist es dann äusserst leicht, die Cramer’sche Regel
für die Auflösung von n Gleichungen des ersten Grades abzuleiten, wovon
weiter einige geometrische Anwendungen gemacht werden.
Zwei Determinanten aus zwei verschiedenen Systemen von je n2 Grössen
gebildet, geben multiplizirt wieder eine Determinante von n2 Grössen, deren
Elemente aus den 2 n2 Elementen der erstem nach einem bestimmten Gesetze
gebildet werden.
dP
Setzt man —-— ar a und bildet aus den n2 Grössen, die man erhält,
dan,s
-wenn man hier r — 1,.., n, und s — 1, 2,.., n setzt, die Determinante S, so ist
g _ pn_i. Diese Determinanten von Determinanten werden nun
einer eingehenden Untersuchung unterzogen und sodann die Unterdeter-
minanten betrachtet, welche man aus (a) erhält, wenn man eine Anzahl
Horizontal- und eben so viele Verticalreihen weglässt. Ist dann ar,s== — as,r,
so entsteht die überschlagene Determinante, die symmetrisch ist, wenn
noch ar,r—o. Als eine besondere Gattung sind die Fun cti on al d eter-
minanten aufgeführt, die Jacobi bekanntlich zuerst betrachtete, die aber
eben einfache Determinanten sind, wie es sich auch ähnlich mit den aus den
partiellen Differentialquotienten zweiter Ordnung einer Funktion der Verän-
derlichen X£,.., Xn gebildeten Determinanten verhält, die namentlich Hesse
vielfach in seinen geometrischen Untersuchungen über die höhern Kurven an-
gewendet bat, und die desshalb nach seinem Namen genannt worden sind.
Der Theorie hat der Verfasser überall Anwendungen beigefügt. Diese
müssen, der Natur der Sachen nach, sich überall auf die Fälle beziehen, wo
man gewisse Untersuchungen in völliger Allgemeinheit führen will, also na-
mentlich wenn lineare Gleichungen aufzulösen sind, oder aus solchen eine
Eliminationsgleichung herzustellen ist. Diese Anwendungen beziehen sich auf
rein analytische Gegenstände, auf geometrische und auf mechanische Unter-
suchungen, und es dürften wohl die meisten derartigen seither gemachten An-
wendungen hier vereinigt sein. So ist u. A. die allgemeine Formel für die
Umformung eines nfachen Integrals gegeben; ist weiter der allgemeine Satz
Jacobi’s, der das Prinzip des letzten Multiplikators enthält, ge-
folgert; findet man das wichtige Theorem von Ma Imst en, wie man aus
n—1 partikulären Integralen einer linearen Differentialgleichung der nten Ord-
nung das fehlende herstellen kann mittelst einer einfachen Quadratur; ist die

d2F

d2F

— o allgemein umgeformt u. s. w.



Referent muss sich hier mit diesen Andeutungen begnügen, da ein näheres
Eingehen auf ein Buch, das in dem Maasse gedrängt geschrieben ist, wie
das vorliegende, ein weiteres Buch fertigen hiesse, wenn man halbwegs ver-
ständlich sein sollte. Er kann nur zufügen, dass wohl die meisten Sätze von
einiger Wichtigkeit, so wie die meisten Anwendungen derselben hier zusam-
mengestellt sind, wenn freilich das Studium des Buches keineswegs durch die
übergrosse Gedrängtheit bedeutend leicht gemacht ist. Wie oben schon ge-
sagt, muss eben der Leser sich die Beweise fortwährend selbst konstruiren,
wodurch er aber auch mit dem Gegenstand innigst vertraut wird. Doch hätte
in manchen Fällen etwas mehr Ausführlichkeit nicht geschadet. Das vorlie-
gende Buch ist — ein kleines englisches derselben Art abgerechnet — das
einzige in der gesammten mathematischen Literatur, das die Determinanten-
theorie behandelt, und es verdient daher der Uebersetzer den Dank der deut-
schen Leser, dass er dasselbe durch die vorliegende Ausgabe ihnen zugänglich

gemacht hat.

Das JL DieiageA9«