DOI issue:
Nr. 14
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Vieille : Theorie des approxünations numeriques.
im Allgemeinen kennt; es entsteht daher für ihn die wichtige Frage,
wie er den Grad der Näherung der Resultate ermitteln könne, die
er aus solchen nur näherungsweise richtigen Zahlen erhalten hat,
und in welcher Weise er diese letztem zu gruppiren hat, damit der
möglichst höchste Grad der Näherung erreicht werde. Eine auf
genauen, wissenschaftlichen Untersuchungen ruhende Zusammenstel-
lung oder besser Darstellung der hiebei zu beobachtenden Regeln
wird eben daher für jeden Rechner sehr erwünscht und von wesent-
lichem Nutzen sein. Eine solche Darstellung nun liefert in grosser
Vollständigkeit die vorliegende Schrift des in vielen andern Beziehun-
gen dem mathematischen Publikum rühmlich bekannten Verfassers.
Zunächst werden als die zwei hier zu lösenden Aufgaben die
folgenden gestellt.- Wenn diejenigen Grössen, die in die Rechnung
eintreten, in ihrem Nährungsgrade bekannt sind, den Näherungsgrad
des Resultats zu bestimmen, d. h. eine obere Gränze des begangenen
Fehlers zu bestimmen, und dann wenn der Fehler, den man in dem
Resultate zulassen will, zum Voraus durch seine obere Gränze ge-
geben ist, so soll man daraus den Näherungsgrad der in die Rech-
nung eintretenden Zahlwerthe ermitteln, also angeben, bis wie weit
diese genau sein müssen, um wirklich das Resultat auf den gege-
benen Grad der Annährung hin genau zu erhalten.
Was nun den Fehler irgend eines Resultats anbelangt, so han-
delt es sich in den Anwendungen weniger um den absoluten,
als den relativen Werth desselben. Ist a der Werth einer Gröse,
a der absolute Fehler, den man dabei begeht, so dass a-j-a der
wahre Werth jener Grösse ist,
so ist — der relative Fehler,
welch letzterer ganz wohl klein sein kann , wenn auch a es nicht
ist. Dass es sich um diesen mehr handeln muss, als um den ab-
soluten Fehler, ist leicht einzusehen. So wird man sagen, es seien
zwei Messungen gleichscharf, wenn die eine auf 1000 Meter 1 fehlt,
während die andere auf 1 Meter O'OOl fehlt, wo dann für jede der
relative Fehler == —~ ist; dagegen wird bei
10,000 Meter ein Fehler von O'l Meter leichter
als bei einer von 100 Meter ein eben so grosser
einer Länge von
verziehen werden,
Fehler; natürlich,
denn im ersten Falle ist der relative Fehler
1
100,000 ’
im zweiten
1
1000’
also ist die letzte Messung lOOmal weniger werth als die
erste.
(Schluss folgt.)
Vieille : Theorie des approxünations numeriques.
im Allgemeinen kennt; es entsteht daher für ihn die wichtige Frage,
wie er den Grad der Näherung der Resultate ermitteln könne, die
er aus solchen nur näherungsweise richtigen Zahlen erhalten hat,
und in welcher Weise er diese letztem zu gruppiren hat, damit der
möglichst höchste Grad der Näherung erreicht werde. Eine auf
genauen, wissenschaftlichen Untersuchungen ruhende Zusammenstel-
lung oder besser Darstellung der hiebei zu beobachtenden Regeln
wird eben daher für jeden Rechner sehr erwünscht und von wesent-
lichem Nutzen sein. Eine solche Darstellung nun liefert in grosser
Vollständigkeit die vorliegende Schrift des in vielen andern Beziehun-
gen dem mathematischen Publikum rühmlich bekannten Verfassers.
Zunächst werden als die zwei hier zu lösenden Aufgaben die
folgenden gestellt.- Wenn diejenigen Grössen, die in die Rechnung
eintreten, in ihrem Nährungsgrade bekannt sind, den Näherungsgrad
des Resultats zu bestimmen, d. h. eine obere Gränze des begangenen
Fehlers zu bestimmen, und dann wenn der Fehler, den man in dem
Resultate zulassen will, zum Voraus durch seine obere Gränze ge-
geben ist, so soll man daraus den Näherungsgrad der in die Rech-
nung eintretenden Zahlwerthe ermitteln, also angeben, bis wie weit
diese genau sein müssen, um wirklich das Resultat auf den gege-
benen Grad der Annährung hin genau zu erhalten.
Was nun den Fehler irgend eines Resultats anbelangt, so han-
delt es sich in den Anwendungen weniger um den absoluten,
als den relativen Werth desselben. Ist a der Werth einer Gröse,
a der absolute Fehler, den man dabei begeht, so dass a-j-a der
wahre Werth jener Grösse ist,
so ist — der relative Fehler,
welch letzterer ganz wohl klein sein kann , wenn auch a es nicht
ist. Dass es sich um diesen mehr handeln muss, als um den ab-
soluten Fehler, ist leicht einzusehen. So wird man sagen, es seien
zwei Messungen gleichscharf, wenn die eine auf 1000 Meter 1 fehlt,
während die andere auf 1 Meter O'OOl fehlt, wo dann für jede der
relative Fehler == —~ ist; dagegen wird bei
10,000 Meter ein Fehler von O'l Meter leichter
als bei einer von 100 Meter ein eben so grosser
einer Länge von
verziehen werden,
Fehler; natürlich,
denn im ersten Falle ist der relative Fehler
1
100,000 ’
im zweiten
1
1000’
also ist die letzte Messung lOOmal weniger werth als die
erste.
(Schluss folgt.)