DOI Heft:
Nr. 15
DOI Seite / Zitierlink: https://doi.org/10.11588/diglit.44393#0231
Nr. 15.
HEIDELBERGER
1856.
JAHRBÜCHER DER LITERATUR.
Vieille: Theorie des approximations numeriques.
(Schluss.)
Nach dieser Erklärung lassen sich leicht folgende Sätze aufstellen: Ist
eine Zahl mit m richtigen Ziffern berechnet und ist k die erste (linke) Ziffer,
so ist der relative Fehler kleiner als ---, und ist umgekehrt der relative
k.lOm—1
Fehler kleiner als-T—, so sind die ersten m Ziffern einer Zahl ge-
(k 1) 10m_1
nau, wenigstens darf man die mte Ziffer nicht um eine Einheit ändern. Die
erste Anwendung dieser Sätze wird nun auf die Regeln der Addition ge-
macht, und die so weiter gefundenen Regeln auf eine Reihe Beispiele, u. a.
auch auf die Berechnung natürlicher Logarythmen mittelst unendlicher Reihen
angewendet. Ebenso werden die Regeln für die Bestimmung des Näherungs-
grades bei der Subtraction festgestellt, und auf die Berechnung der Zahl
mittelst der bekannten Formel.
Q 1 1 I n _ 1 1 |
4 a a~ 5 3.53 ‘ .. P ~ 239 3.2393
angewendet.
In ähnlicher Weise werden Multiplication und Division behan-
delt, und namentlich die Regeln für die abgekürzte, Form dieser beiden Rech-
nungsweisen genau festgestellt. Dasselbe gilt für die Erhebung in Potenzen
und die damit zusammenhängende Wurzelausziehung, in Bezug auf welche für
die Quadratwurzel eine rasch zum Ziele führende Näherungsmethode gelehrt wird.
Alle diese einzelnen Regeln können nun aber durch die Taylor'sehe
Formel (meist noch genauer) gefunden werden, so dass also dieselbe der In-
begriff aller dieser Näherungsmethoden ist. Daher wird diese Formel zunächst
untersucht und bewiesen und dann gezeigt, wie der Näherungsgrad mittelst
derselben ermittelt wird. Geometrische Betrachtungen werden zur Verdeut-
lichung der auf analytischem Wege gefundenen Resultate fortwährend einge-
streut, und namentlich Anwendungen auf den Gebrauch der Logarythmentafeln
gemacht. Eine weitere Anwendung ist die auf die näherungsweise Berechnung
der (reellen) Wurzeln von Zahlengleichungen, wobei das Newton’sche Ver-
fahren angewendet, aber auch zugleich gezeigt wird, wie man sich bei dem-
selben immer versichern kann, in welcher Weise man sich der Wurzel nähere.
Daneben wird dann auch das Verfahren mittelst der Regula falsi (Interpola-
tion) erörtert und gezeigt, in wie weit dasselbe als ein Näherungsverfahren
zu betrachten ist. Anwendungen auf eine Reihe transcendenter Gleichungen
x — x
(tg x = x, e + e =2au. s. w.), so wie auf quadratische Gleichungen, in
x
XLIX. Jahrg. 3. Heft.
15
HEIDELBERGER
1856.
JAHRBÜCHER DER LITERATUR.
Vieille: Theorie des approximations numeriques.
(Schluss.)
Nach dieser Erklärung lassen sich leicht folgende Sätze aufstellen: Ist
eine Zahl mit m richtigen Ziffern berechnet und ist k die erste (linke) Ziffer,
so ist der relative Fehler kleiner als ---, und ist umgekehrt der relative
k.lOm—1
Fehler kleiner als-T—, so sind die ersten m Ziffern einer Zahl ge-
(k 1) 10m_1
nau, wenigstens darf man die mte Ziffer nicht um eine Einheit ändern. Die
erste Anwendung dieser Sätze wird nun auf die Regeln der Addition ge-
macht, und die so weiter gefundenen Regeln auf eine Reihe Beispiele, u. a.
auch auf die Berechnung natürlicher Logarythmen mittelst unendlicher Reihen
angewendet. Ebenso werden die Regeln für die Bestimmung des Näherungs-
grades bei der Subtraction festgestellt, und auf die Berechnung der Zahl
mittelst der bekannten Formel.
Q 1 1 I n _ 1 1 |
4 a a~ 5 3.53 ‘ .. P ~ 239 3.2393
angewendet.
In ähnlicher Weise werden Multiplication und Division behan-
delt, und namentlich die Regeln für die abgekürzte, Form dieser beiden Rech-
nungsweisen genau festgestellt. Dasselbe gilt für die Erhebung in Potenzen
und die damit zusammenhängende Wurzelausziehung, in Bezug auf welche für
die Quadratwurzel eine rasch zum Ziele führende Näherungsmethode gelehrt wird.
Alle diese einzelnen Regeln können nun aber durch die Taylor'sehe
Formel (meist noch genauer) gefunden werden, so dass also dieselbe der In-
begriff aller dieser Näherungsmethoden ist. Daher wird diese Formel zunächst
untersucht und bewiesen und dann gezeigt, wie der Näherungsgrad mittelst
derselben ermittelt wird. Geometrische Betrachtungen werden zur Verdeut-
lichung der auf analytischem Wege gefundenen Resultate fortwährend einge-
streut, und namentlich Anwendungen auf den Gebrauch der Logarythmentafeln
gemacht. Eine weitere Anwendung ist die auf die näherungsweise Berechnung
der (reellen) Wurzeln von Zahlengleichungen, wobei das Newton’sche Ver-
fahren angewendet, aber auch zugleich gezeigt wird, wie man sich bei dem-
selben immer versichern kann, in welcher Weise man sich der Wurzel nähere.
Daneben wird dann auch das Verfahren mittelst der Regula falsi (Interpola-
tion) erörtert und gezeigt, in wie weit dasselbe als ein Näherungsverfahren
zu betrachten ist. Anwendungen auf eine Reihe transcendenter Gleichungen
x — x
(tg x = x, e + e =2au. s. w.), so wie auf quadratische Gleichungen, in
x
XLIX. Jahrg. 3. Heft.
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