Heidelberger Jahrbücher der Literatur (50,2.1857)

HEIDELBERGER

Nr. 34.

1857.

JAHRBÜCHER DER LITERATUR

Riecke: Die Rechnung mit Richtungszahlen etc.

(Schluss.)

Für die Division zweier Richtungszahlen hat man demnach:
I « I m: 1 ß I n= | a—ß | ,
für das Potenziren derselben:
( | a | m)n =z | na | mn,
und umgekehrt für die Wurzelausziehung:
V | cc | m = |^l 11 ‘
Als besonders wichtiger specieller Fall hievon wird noch bemerkt:
v' i = i i 7t 11 = —i,
und der Verf. fügt hinzu: „Man hat den Beweis dieses wichtigen
Satzes aus der Proportion :
-f- 1 : V* —1 = V'—1 : — 1
ableiten wollen; aber man sieht leicht ein, wie gegen diesen Beweis
mit Recht eingewandt werden kann, dass hier ein Satz, der nur für
absolute Längen bewiesen worden ist, ohne Berechtigung auf
Linien ausgedehnt wird, deren Richtungen durch Vorzeichen unter-
schieden ist.“ — Der Verfasser ist hierin aber noch viel weiter ge-
gangen; denn er hat, wie schon bemerkt, die nur für absolute
Zahlen evidenten Begriffsbestimmungen der arithmetischen Grund-
operationen auf seine Richtungszahlen ohne Weiteres erstreckt! —
Allerdings ist i = vz—1 eine mittlere Proportionalgrösse
zwischen 1 und — 1; denn die Relation oder der Uebergang
von 1 zu y—1 ist offenbar ganz derselbe, als der von y''—1 zu
— 1. Hiervon muss man ausgehen, um zu dem Begriffe der
complexen Zahl a-J-b/—1 zu gelangen und es ist alsdann
ganz unnöthig, in den Begriff der Zahl den der Richtung mit
aufzunehmen, woran Gauss nicht im Entferntesten gedacht hat;
denn er sagt-ausdrücklich : „Positive und negative Zahlen können
nur da eine Anwendung finden, wo das Gezählte ein Entgegenge-
setztes hat, was mit ihm vereinigt gedacht der Vernichtung gleich-
zustellen ist. Genau besehen, findet diese Voraussetzung nur da
statt, wo nicht Substanzen (für sich denbare Gegenstände), sondern
Relationen zwischen je zwei Gegenständen das Gezählte sind.
Postulirt wird dabei, dass diese Gegenstände auf eine bestimmte Art
in eine Reihe geordnet sind, z. B. A, B, C, D, ... und dass die
Relation des A zu B als der des B zu C, u. s. w. gleichbetracbtet
L. Jahrg. 7. Heft. 34