DOI Heft:
Nr. 32
DOI Seite / Zitierlink: https://doi.org/10.11588/diglit.44903#0003
Nr. 32.
HEIDELBERGER
1863.
JAHRBÜCHER DER LITERATUR
Jentzsch: Theorie der Astroiden.
(Schluss.)
sin2 a
Denken wir uns eine bestimmte Lage der bewegten Geraden,
so entspricht derselben ein bestimmter Punkt der Astroide; wir
legen diese Gerade dadurch fest, dass wir den Winkel bestimmen,
den sie mit der x Axe (einer der zwei festen Geraden) macht,
wobei dieser Winkel von der negativen Richtung dieser Axe gegen
"die positive Richtung der yAxe (der andern der festen Geraden)
von 0 bis 360° gerechnet sei. Alsdann ergibt sich , wenn a der
Winkel der Koordinatenaxen (den der Verf. als stumpf denkt): x —
a sin2 (a-4-cd) cos cp asin2q? cos (α-4-cp)
-. -j y ~-—-4E_z__ für den Fall der
sm2 a
orthogonalen Astroide ist x = acos3(p, y = asin3g?. Mit Hilfe der
Differentialquotienten untersucht nun das Buch den Lauf der durch
obige Gleichungen charakterisirten Kurve, wobei wir nur gewünscht
hätten, dass die wirkliche Darstellung (durch Zeichnung), die be-
deutend später erscheint, hier gleich gegeben worden wäre, da
dadurch dem leichtern Verständniss sicher bedeutender Vorschub
geleistet wäre.
Auch für die oben genannten rechtwinckligen Koordinaten-
axen wird die Lage der Kurve untersucht, und es scheint uns die
ganze Untersuchung leichter durchführbar für solche, so dass wir
für weitere Behandlung diese vorziehen würden, wie denn auch
später wesentlich nur von diesen Axen Gebrauch gemacht wird.
Ueber die Geraden, welche die vier Rückkehrpunkte verbin-
den, Durchmesser, Tangenten und Construction der Astroide, Fuss-
punktkurve, Krümmungshalbmesser, Evolute u. s. w. werden eine
Reihe Satze aufgestellt, und dann aus der Eigenschaft, dass die
Evolute der Astroide wieder eine Astroide ist, eine Verwandtschaft
derselben mit den Cycloiden vermuthet. Es wird desshalb in all-
gemeiner Weise das Gleichungssystem der Hypocycloide aufgestellt
und dann daraus geschlossen, dass orthogonale Astroide eine solche
sei, bei der der Halbmesser des Kreises gleich a, der des beweg-
lichen gleich 1/4 a ist.
Die zweite Abtheilung des Buches beschäftigt sich mit den
Anwendungen der Integralrechnung auf die vorliegende Kurve. Es
wird also die Astroide rectifizirt, der von ihr umschlossene Flächen-
3
raum berechnet (für die orthogonale findet er sich — a2jt), eben
LVI. Jahrg. 7. Heft.
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HEIDELBERGER
1863.
JAHRBÜCHER DER LITERATUR
Jentzsch: Theorie der Astroiden.
(Schluss.)
sin2 a
Denken wir uns eine bestimmte Lage der bewegten Geraden,
so entspricht derselben ein bestimmter Punkt der Astroide; wir
legen diese Gerade dadurch fest, dass wir den Winkel bestimmen,
den sie mit der x Axe (einer der zwei festen Geraden) macht,
wobei dieser Winkel von der negativen Richtung dieser Axe gegen
"die positive Richtung der yAxe (der andern der festen Geraden)
von 0 bis 360° gerechnet sei. Alsdann ergibt sich , wenn a der
Winkel der Koordinatenaxen (den der Verf. als stumpf denkt): x —
a sin2 (a-4-cd) cos cp asin2q? cos (α-4-cp)
-. -j y ~-—-4E_z__ für den Fall der
sm2 a
orthogonalen Astroide ist x = acos3(p, y = asin3g?. Mit Hilfe der
Differentialquotienten untersucht nun das Buch den Lauf der durch
obige Gleichungen charakterisirten Kurve, wobei wir nur gewünscht
hätten, dass die wirkliche Darstellung (durch Zeichnung), die be-
deutend später erscheint, hier gleich gegeben worden wäre, da
dadurch dem leichtern Verständniss sicher bedeutender Vorschub
geleistet wäre.
Auch für die oben genannten rechtwinckligen Koordinaten-
axen wird die Lage der Kurve untersucht, und es scheint uns die
ganze Untersuchung leichter durchführbar für solche, so dass wir
für weitere Behandlung diese vorziehen würden, wie denn auch
später wesentlich nur von diesen Axen Gebrauch gemacht wird.
Ueber die Geraden, welche die vier Rückkehrpunkte verbin-
den, Durchmesser, Tangenten und Construction der Astroide, Fuss-
punktkurve, Krümmungshalbmesser, Evolute u. s. w. werden eine
Reihe Satze aufgestellt, und dann aus der Eigenschaft, dass die
Evolute der Astroide wieder eine Astroide ist, eine Verwandtschaft
derselben mit den Cycloiden vermuthet. Es wird desshalb in all-
gemeiner Weise das Gleichungssystem der Hypocycloide aufgestellt
und dann daraus geschlossen, dass orthogonale Astroide eine solche
sei, bei der der Halbmesser des Kreises gleich a, der des beweg-
lichen gleich 1/4 a ist.
Die zweite Abtheilung des Buches beschäftigt sich mit den
Anwendungen der Integralrechnung auf die vorliegende Kurve. Es
wird also die Astroide rectifizirt, der von ihr umschlossene Flächen-
3
raum berechnet (für die orthogonale findet er sich — a2jt), eben
LVI. Jahrg. 7. Heft.
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