Heidelberger Jahrbücher der Literatur (44,2.1851)

Nr. 40.

HEIDELBERGER

1851

JAHRBÜCHER DER LITERATUR.

Kurze Anzeigen.

(Schluss.)
Die allgemeine Vmkeltrung gegebener Funktionen. Eine Monographie von Dr. Os-
kar Schlömil cli, Professor an der Universität Jena. Halle, Druck und
Verlag von H. W. Schmidt. 1849. 56 S. in 8.
Wenn die Grösse x dergestalt von y abhängt, dass man setzen kann:
χ = Ψ (y)>
d. h. dass also x eine bestimmte, gegebene Funktion von y ist, so ist man be-
rechtigt, umgekehrt zu setzen:
y = φ fr),
d. h. auch y als Funktion von x zu betrachten. Wenn nun, wie gesagt, ψ (y)
gegeben ist, so stellt sich die Aufgabe dar, hieraus φ (x) zu bestimmen. Damit
wäre dann das Problem der Umkehrung einer gegebenen Funktion gelöst. Die
Lösung dieser Aufgabe ist der Zweck vorliegender Monographie.
Man hat schon früher eine Lösung dieser Aufgabe versucht. Den ersten
Versuch finden wir bei Newton, der durch auf einander folgende Potenzirung
einer Reihe und Elimination der hohem Potenzen von y zu einer neuen Reihe
gelangt. Sei z. B.
x = y + 2 y2 + s y3 + έ y4 + · · ■ ·,
so bildet Newton zunächst x2, x3, x1,... und verbindet diese Grössen so, dass
y2, y3 ... . verschwinden, also:
x — x2 = y — έ y3 — /i y4 —...
x —2x2+ix3=y + 2'iy4+··
u. s. w. Dadurch erhält er die Reihe:
y = x— i x2+|x3—Λ x4+···
Man sieht leicht ein, dass, wenn diese Methode auch, übersichtlich darge-
stellt, sich sehr einfach ausnimmt, sic bei wirklicher Anwendung völlig unbrauch-
bar ist. Denn es ist nicht möglich, das allgemeine Gesetz der Koeffizienten der Po-
tenzen von x zu bestimmen; allerdings könnte diess durch die Lehre vom Po-
lynomium übersichtlich geschehen, allein für wirkliche Berechnung ist dieselbe
unbrauchbar. So lange das Gesetz der Koeffizienten nicht bekannt ist, ist aber
eine unendliche Reihe schon darum nicht zu gebrauchen, da deren Konvergenz
nicht beurtheilt werden kann.
Eine vollständigere Lösung gewährt die bekannte Lagrangesche Formel.
Setzt man nämlich:
χ=Ψ(γ)=ϊ55
und sei yo der Werth von y, der der Gleichung:
y = x f (y)
Genüge leistet, und mit x verschwindet, so ist
XLIY. Jahrg. 4. Doppelheft.

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