Joachimsthal: Analytische Geometrie der Ebene.

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ac-b2

in der folgenden Formel aber nur Cosinus vorkomme, so ist es
gleichgiltig, welchen der zwei Werthe man wählt. Die Projektion
von r auf die t Axe ist r cos (r, t); eben so ist sie aber auch
x cos (x, t) —y cos (y, t), wie sich für alle Falle leicht zeigen lässt.
Demnach hat man
r cos (r, t) — x cos (x, t) —J— y cos (y, t).
Sind eben so x1, y1 die Koordinaten desselben Punktes für ein
anderes Koordinatensystem mit immer demselben Anfangspunkte,
so ist r cos (r, t) = x1 cos (x.1, t)y1 cos (y’, t), woraus sofort
folgt: x1 cos (x1, t) —y1 cos (y1, t) = x cos (x, t) -j- y cos (y, t).
Lässt man die t Axe mit der der x1, odery1 zusammenfallen,
so erhält man zwei Formeln, aus denen die neuen Koordinaten
durch die alten, und umgekehrt, sich ergeben, wie dies das Buch
nun weiter verfolgt.
Hierauf wird die allgemeine Gleichung zweiten Grades zwischen
x und y bei beliebigem Koordinatensysteme untersucht. Diese Unter-
suchung wird in einer von der gewöhnlichen verschiedenen Weise
geführt. Zuerst wird die Gleichung ax2-|-2bxg-[-cy2-}-2dx
b d \ ne b X
2 e y -[· f — o unter die Form a (x -]-y — ) -]-i y
ae-bd\2 afc - ae2-cd2 —fb2—I— 2b ed
- -4--— o gebracht, und dann die
/ ' ac-b2
. b . d ae - bd
Geraden, deren Gleichungen x-j-y-4-=o,x-f-·———■ — o sind,
a a ac-b2
zu neuen Axen der Y, X gewählt, wodurch (wie früher gezeigt) die
V ru · u · V X‘2 l a°-b2 Ύ3 I
obige Gleichung sich in a—^—j-YTäH-Fä = 0 umwandelt,
wo z7 die Grösse afc - ae2 - ... ist, und ό', d1 nur von der gegenseitigen
Lage der Axen abhängen. Ist nun ac-b2 positiv, so stellt dies eine
Ellipse; bei ac-b2 negativ eine Hyperbel vor. Für ac-b2—o
muss man die Rechnung etwas anders führen und findet dann die
Parabel, Eben so gelten die Resultate nur wenn nicht a = o, in
welchem Falle eben so durch eine geänderte Rechnung dasselbe
Ergebniss gefunden wird. Nachdem so erkannt ist, dass nur die
genannten drei Linien in der allgemeinen Gleichung enthalten sind,
wird die Aufgabe gestellt und gelöst, diese Gleichung in eine der
zwei Formen AX2-|-BY2=1, Ya=2PX bei (neuen) rechtwinkli-
gen Koordinaten zu bringen.
Der folgende Abschnitt enthält die Fundamentalsätze der Theorie
der Transversalen, worauf die allgemeine Betrachtung der
Kegelschnitte, sowohl in Verbindung mit geradlinigen Transversalen
als in Verbindung mit einander aufgenommen wird. Damit schliesst
dann das Werk, das also wesentlich auf Gerade und Kegel-
schnitte sich einschränkt, innerhalb dieser Einschränkung aber im
höchsten Grade belehrend und anregend ist.