DOI Heft:
Nr. 40
DOI Seite / Zitierlink: https://doi.org/10.11588/diglit.44164#0147
HEIDELBERGER
1855
Nr. 40.
JAHRBÜCHER DER LITERATUR.
Veber die Theorie der linearen algebraischen Gleichungen. Von Victor Freiherrn
v. Lichten f eis. (Aus dem Maihefte des Jahrgangs 185'1 der Sitzungsbe-
richte der malhem.-naturw. Classe der kais. Akademie der Wissenschaften
[Bd. XII. S. 935] besonders abgedruckt'). 81 S. in 8.
Bei dein ausgedehnten Gebrauche, den man in der ganzen Mathematik von
linearen algebraischen Gleichungen macht, wo wir als Beispiele nur die Methode
der kleinsten Quadrate, die Lehre vom Grössten und Kleinsten u. s. w. anfüh-
ren wollen, ist es ganz natürlich, dass gerade diese Gleichungssysteme vielfäl-
tigen Untersuchungen unterworfen worden sind. Wir haben in diesen Blättern
selbst schon einige solcher Untersuchungen, z. B. von Hansen, besprochen und
wollen nun die vorliegenden, höchst scharfsinnigen und lehrreichen Untersu-
chungen über die Auflösung linearer Gleichungen ebenfalls einer kurzen Be-
trachtung unterziehen, wobei wir uns — der Natur der Sache gemäss — mehr
berichtend verhalten müssen.
Der Verfasser der vorliegenden Schrift theilt dieselben zunächst in zwei
Hauptabtheiluugen, indem er Gleichungen mit symmetrischem Koeffizientenbau
unterscheidet von denen mit unsymmetrischem. Beide Abtheilungen zerfallen
wieder in zwei weitere, je nachdem nämlich die Gleichungen bestimmte oder
unbestimmte sind. Zunächst also betrachtet er die unbestimmten linearen Glei-
chungen mit symmetrischen Koeffizienten. Er stellt dieselben unter folgende Form:
(11) xi 4" (12) x2 + (13) X3 +.(In) xn — sxi, j
(21) xt 4- (22) x2 4- (23) X3 4“.+ (2n) Xn = sx2, (
(nl) xt 4- (n2) x2 4~ (n3) X3 4".4“ (nn) Xn — sxn, |
wo durch das Symbol (rrn) der Koeffizient der Unbekannten xm in der rte“ Glei-
chung bezeichnet ist, und wobei vorausgesetzt wird, dass (rm) = (mr) sei.
Die Grösse s ist dabei noch ganz unbestimmt. Die gewöhnliche Methode der
Auflösung besteht nun darin, dass man durch Elimination von Xi, ..., xn aus (1)
eine Gleichung F(s) = 0 in s bildet, die vom nlen Grad sein wird, und deren
Wurzeln sj, s2,..., sn sein mögen, welche man dann nach einander in (1) ein-
setzt und so n Systeme von je n—1 von einander verschiedenen Gleichungen
erhält, aus denen auch n Werthe für die Quotienten —, ..... — folgen, die
Xi Xi 6
allein aus (1) bestimmt werden können.
Diesen Weg schlägt nun die vorliegende Schrift nicht ein, vielmehr setzt sie:
Xi = Cub X2 = Cu2,., Xn = Cun, (2)
worin ut, ..., un neue Unbekannte, C eine bestimmte, zunächst noch beliebige
Grösse ist. Setzt man diese Werthe in (1) ein, so fällt C aus und man hat,
wegen des Bestehens der Gleichung F(s) — o, eigentlich nur η—Ί verschie-
dene Gleichungen, so dass zur völligen Bestimmung von ui,..., un noch eine
weitere nothwendig ist, die man ganz beliebig wählen kann. Als solche ist
gewählt:
(ut)2 4- (Uj)2 4-.4- (un)2 1, (3)
XLYIII, Jahrg. 8. Heft. 4.Q
1855
Nr. 40.
JAHRBÜCHER DER LITERATUR.
Veber die Theorie der linearen algebraischen Gleichungen. Von Victor Freiherrn
v. Lichten f eis. (Aus dem Maihefte des Jahrgangs 185'1 der Sitzungsbe-
richte der malhem.-naturw. Classe der kais. Akademie der Wissenschaften
[Bd. XII. S. 935] besonders abgedruckt'). 81 S. in 8.
Bei dein ausgedehnten Gebrauche, den man in der ganzen Mathematik von
linearen algebraischen Gleichungen macht, wo wir als Beispiele nur die Methode
der kleinsten Quadrate, die Lehre vom Grössten und Kleinsten u. s. w. anfüh-
ren wollen, ist es ganz natürlich, dass gerade diese Gleichungssysteme vielfäl-
tigen Untersuchungen unterworfen worden sind. Wir haben in diesen Blättern
selbst schon einige solcher Untersuchungen, z. B. von Hansen, besprochen und
wollen nun die vorliegenden, höchst scharfsinnigen und lehrreichen Untersu-
chungen über die Auflösung linearer Gleichungen ebenfalls einer kurzen Be-
trachtung unterziehen, wobei wir uns — der Natur der Sache gemäss — mehr
berichtend verhalten müssen.
Der Verfasser der vorliegenden Schrift theilt dieselben zunächst in zwei
Hauptabtheiluugen, indem er Gleichungen mit symmetrischem Koeffizientenbau
unterscheidet von denen mit unsymmetrischem. Beide Abtheilungen zerfallen
wieder in zwei weitere, je nachdem nämlich die Gleichungen bestimmte oder
unbestimmte sind. Zunächst also betrachtet er die unbestimmten linearen Glei-
chungen mit symmetrischen Koeffizienten. Er stellt dieselben unter folgende Form:
(11) xi 4" (12) x2 + (13) X3 +.(In) xn — sxi, j
(21) xt 4- (22) x2 4- (23) X3 4“.+ (2n) Xn = sx2, (
(nl) xt 4- (n2) x2 4~ (n3) X3 4".4“ (nn) Xn — sxn, |
wo durch das Symbol (rrn) der Koeffizient der Unbekannten xm in der rte“ Glei-
chung bezeichnet ist, und wobei vorausgesetzt wird, dass (rm) = (mr) sei.
Die Grösse s ist dabei noch ganz unbestimmt. Die gewöhnliche Methode der
Auflösung besteht nun darin, dass man durch Elimination von Xi, ..., xn aus (1)
eine Gleichung F(s) = 0 in s bildet, die vom nlen Grad sein wird, und deren
Wurzeln sj, s2,..., sn sein mögen, welche man dann nach einander in (1) ein-
setzt und so n Systeme von je n—1 von einander verschiedenen Gleichungen
erhält, aus denen auch n Werthe für die Quotienten —, ..... — folgen, die
Xi Xi 6
allein aus (1) bestimmt werden können.
Diesen Weg schlägt nun die vorliegende Schrift nicht ein, vielmehr setzt sie:
Xi = Cub X2 = Cu2,., Xn = Cun, (2)
worin ut, ..., un neue Unbekannte, C eine bestimmte, zunächst noch beliebige
Grösse ist. Setzt man diese Werthe in (1) ein, so fällt C aus und man hat,
wegen des Bestehens der Gleichung F(s) — o, eigentlich nur η—Ί verschie-
dene Gleichungen, so dass zur völligen Bestimmung von ui,..., un noch eine
weitere nothwendig ist, die man ganz beliebig wählen kann. Als solche ist
gewählt:
(ut)2 4- (Uj)2 4-.4- (un)2 1, (3)
XLYIII, Jahrg. 8. Heft. 4.Q