Heidelberger Jahrbücher der Literatur (47,2.1854)

Nr. 39.

HEIDELBERGER

1854.

a'e

39

Paulus t Grundlinien der neuen ebenen Geometrie.

wenn zwei
man aber
mit reellen

(Schluss.)
Chas les bestimmt nämlich zwei zusammengehörige
Punkte a, a' auf einer Geraden durch ihre Milte a und durch das
Produkt p ihrer Abstände ma, ma' von einem gemeinschaftlichen
Anfangspunkte m vermittelst der Ausdrücke:
ma| , , -■ -
ma' | nia —■ (ma)2 p,
woraus erhellet: dass die beiden Punkte a, a' reell sind und im-
mer bestimmt werden können, wenn p negativ ist, oder positiv
und < (ma)2. Ist dagegen p positiv und > (ma)2, so werden
die beiden obigen Ausdrücke für ma, ma' imaginär — und er
sagt alsdann: dass auch die Punkte a, a' imaginär seien. —
Solche zwei conjugirte imaginäre Punkte, welche Chasles im-
mer meint, wenn er von imaginären Punkten spricht, sollen nun
vermittelst ihrer immer reellen Elemente a, p mit reellen
Theilen einer Figur, z. B. mit reellen Punkten, in reellen Be-
ziehungen stehen können. Habe man z. B. für die Punkte a, a';
e, 1 und a, 0, wo die beiden letzten resp. die Mitten der beiden
ersten Paare sind, die Relation:
ma. ma' me. mf = 2ma. mO,
wo m ein willkürlicher Punkt auf denselben Geraden ist, so
drücke dieselbe die harmonische Relation aus, worin auch zwei
conjugirte Punkte, etwa a, a', imaginär sein dürfen, weil sie
in dieser Relation nur vermittelst ihrer immer reellen Elemente
vorkommen. ■— Aber andere Ausdrücke derselben harmonischen
Relation, z. B. :
ae _

, 2 1 i 1
oder: — =--· etc.
ef ea 1 ea'
haben keinen Sinn mehr und seien nur symbolische,
conjugirte Punkte a, a' imaginär werden. — Wenn
annehme, dass man mit imaginären Ausdrücken, wie
rechnen dürfe; so könne man aus Relationen, wie die letzten, im-
mer andere herleiten, worin die imaginären Punkte a, a' nur
mittelst ihrer Elemente Vorkommen — und solche Relationen seien
alsdann explicile und inlelligibele Ausdrücke der harmoni-
schen Proportion zwischen zwei reellen Punkten e, f und zwei
imaginären Punkten a, a'. Z. B. aus der letzten Relation ergebe
sich folgende: 2 ea-j- ea' _ 2ea
ef ea . ea' ea . ea' oder:
ef. ea = ea . ea',
LXVII, Jahrg. 4. Doppelheft.

JAHRBÜCHER DER LITERATUR.