DOI Heft:
Nr. 27
DOI Seite / Zitierlink: https://doi.org/10.11588/diglit.44491#0437
Spitzer: Integration der Differentialgleichung.
431
1) Integration der Differentialgleichung a2 -J- h2 x) y“ 4" fai 4~
y'(a0b0 x) y ■=. o. Von Simon Spitzer. Wien. In
Commission bei Karl Gerolds Sohn. 1857. (42 S. in 8).
2) Bemerkungen über die Integration linearer Differentialgleichungen
mit Koeffizienten, die bezüglich der unabhängigen Variablen
von der ersten Potenz sind. Von u. s. w. (36 S.)
3) Integration verschiedener linearer Differentialgleichungen. Von
u. s. w. (32 S.)
Die genannten drei Schriften des in diesen Blättern mehrfach
schon genannten Verfassers sind abgedruckt aus den Sitzungsberich-
ten der mathematisch naturwissenschaftlichen Klasse der kais. Aka-
demie der Wissenschaften zu Wien (Bd. XXV und XXVI), und al-
so gewissermassen von dieser gelehren Körperschaft sanctionirt. Der
Verf. derselben bat ähnliche Abhandlungen eben so auch in Grel-
les Journal, in Grunnerts Archiv, und in der Zeitschrift von
Schlömilch und Witzschel veröffentlicht, was beweist, dass er
sich mit der Integration linearer Differentialgleichungen viel und mit
Erfolg beschäftigt.
Die erste der obigen Abhandlungen verbreitet sich, wie der Ti-
tel angiebt, über die Integration der Differentialgleichung (a2 -f- b2 x)
cP y d y
—2 -f- (ax -j~ bi 4" (ao + b0 x) y = o, mit der sich auch P e t z-
val in seinem grossem Werke mehrfach beschäftigt.
Zuerst wird die Gleichung durch Einführung neuer Veränder-
lichen umgeformt, so dass sie unter der Gestalt (m-]-x)z/z-|-[a4-
b-f-cCm + x)] zz -j- a c z — o erscheint, wo a, b, c, m von den
ursprünglichen Koeffizienten abhängen. Diese Gleichung wird y mal
nach x differenzirt, sodann y = — a gesetzt, wodurch die so erhal-
tene Gleichung integrabel wird. Das Integral dieser, und damit der
ursprünglichen Gleichung erscheint nun unter der Form eines Dif-
ferentialquotienten von allgemeiner (beliebiger) Ordnung, dessen Aus-
deutung nach Lionville, der diese Grössen in die Mathematik
eingeführt hat, gegeben wird. Beispiele erläutern die Anwendung
des Verfahrens.
Eine zweite Methode der Integration ist die mittelst bestimmter
Integrale der FormP(?ux
| e Vdu, wie sie von Laplace herrührt und
a
aus den Lehrbüchern bekannt ist. — Die Differenzengleichung, die einen
ähnlichen Bau hat, wie die vorgelegte Differenzialgleichung, lässt
sich auch in ähnlicher Weise integriren.
Dasselbe Verfahren, welches zur Integration der Differential-
gleichung zweiter Ordnung, wie sie der Verfasser sich vorlegte, führt,
431
1) Integration der Differentialgleichung a2 -J- h2 x) y“ 4" fai 4~
y'(a0b0 x) y ■=. o. Von Simon Spitzer. Wien. In
Commission bei Karl Gerolds Sohn. 1857. (42 S. in 8).
2) Bemerkungen über die Integration linearer Differentialgleichungen
mit Koeffizienten, die bezüglich der unabhängigen Variablen
von der ersten Potenz sind. Von u. s. w. (36 S.)
3) Integration verschiedener linearer Differentialgleichungen. Von
u. s. w. (32 S.)
Die genannten drei Schriften des in diesen Blättern mehrfach
schon genannten Verfassers sind abgedruckt aus den Sitzungsberich-
ten der mathematisch naturwissenschaftlichen Klasse der kais. Aka-
demie der Wissenschaften zu Wien (Bd. XXV und XXVI), und al-
so gewissermassen von dieser gelehren Körperschaft sanctionirt. Der
Verf. derselben bat ähnliche Abhandlungen eben so auch in Grel-
les Journal, in Grunnerts Archiv, und in der Zeitschrift von
Schlömilch und Witzschel veröffentlicht, was beweist, dass er
sich mit der Integration linearer Differentialgleichungen viel und mit
Erfolg beschäftigt.
Die erste der obigen Abhandlungen verbreitet sich, wie der Ti-
tel angiebt, über die Integration der Differentialgleichung (a2 -f- b2 x)
cP y d y
—2 -f- (ax -j~ bi 4" (ao + b0 x) y = o, mit der sich auch P e t z-
val in seinem grossem Werke mehrfach beschäftigt.
Zuerst wird die Gleichung durch Einführung neuer Veränder-
lichen umgeformt, so dass sie unter der Gestalt (m-]-x)z/z-|-[a4-
b-f-cCm + x)] zz -j- a c z — o erscheint, wo a, b, c, m von den
ursprünglichen Koeffizienten abhängen. Diese Gleichung wird y mal
nach x differenzirt, sodann y = — a gesetzt, wodurch die so erhal-
tene Gleichung integrabel wird. Das Integral dieser, und damit der
ursprünglichen Gleichung erscheint nun unter der Form eines Dif-
ferentialquotienten von allgemeiner (beliebiger) Ordnung, dessen Aus-
deutung nach Lionville, der diese Grössen in die Mathematik
eingeführt hat, gegeben wird. Beispiele erläutern die Anwendung
des Verfahrens.
Eine zweite Methode der Integration ist die mittelst bestimmter
Integrale der FormP(?ux
| e Vdu, wie sie von Laplace herrührt und
a
aus den Lehrbüchern bekannt ist. — Die Differenzengleichung, die einen
ähnlichen Bau hat, wie die vorgelegte Differenzialgleichung, lässt
sich auch in ähnlicher Weise integriren.
Dasselbe Verfahren, welches zur Integration der Differential-
gleichung zweiter Ordnung, wie sie der Verfasser sich vorlegte, führt,