Heidelberger Jahrbücher der Literatur (58,2.1865)

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Hansen: Relationen u. s. w.

so dass man sagen kann, es sei »2?nf(x) = (e^e^h) n, wenn
man nach der Entwicklung der rechten Seite in eine nach stei-
genden Potenzen von h fortschreitende Reihe allenthalben h~n+p
mit J f (x) dxn p multiplizirt, und wo Σ und mit negativen
Indices behaftet vorkommen, dafür bez. z7 und d mit denselben
positiven Indices versehen, ansetzt.«
Die Bestimmung von an, bn, ... ist aus der obigen Gleichung
klar und die Schrift führt dieselbe zunächst für negative n voll-
ständig durch und zeigt dann auch, dass wenn man diese Grössen
für n = — 1 kennt, man sie leicht für alle negativen, und eben
so wenn man sie für n — 4* 1 kennt, für alle positiven n erhalten
kann. Beides ist aber leicht durchzuführen.

Für | [A11 f (x 4 h) 4~ f (x — 4 h)J erhält man (x)
In—4
f (x) dxn~4 + ..., wo nun

dxn +SFäJ fdxll~2 f
abermals αη, ßn, ... sich als die Koeffizienten der Entwicklung
von — -—n— — f θ2*1 21r) herausstellen.
η—1 dh — e J

Die Umkehrnng der bereits gelösten Aufgaben, nämlich die
Differentialquotienten durch die Differenzen auszudrücken, lässt sich
nun ebenfalls bequem durchführen, wobei zunächst die sogenannte
Gaussische Interpolationsformel, »die schon vor Gauss vorhanden
war«, aufgefunden wurde. Dergleichen lassen sich jedoch allgemeinere
k’h2
bilden. Es ist f(x-{-kh) = f(x)-j-khf1 (x) p—-—— f2 (x) -p · · ·>
vorausgesetzt allerdings kh sei klein genug, damit die Reihe kon-
vergire. Setzt man hier die Werthe der Differentialquotienten, in
Differenzen ausgedrückt, ein, so ergibt sich f (x 4~ k h) = 4 [f (x -p | h)
+ f(x-4h)] + A1 z7f(x) + A2 4 [z/2 f (x ~P ϊ h) 4~ z/2 f (x— |h)J
-P A3 z/3 f (x) -P A41 [zD f (x -p 4 h) 4- z/4 f (x— | h)J 4“ · · · · > woraus
auch folgt, f(x 4~ k h) = | [f (x 4~ M 4" f (x) J 4“ f (x 4~l Κ) 4"®2 4
[z/2 f (x -p h) 4~ f (x)J 4- , und ferner f (x 4~ k h) = f (x) -p 0^4
[z/f(x-p 4 h)-P^f (x— 4 h)J 4~ θ2 4X) 47. diesen For¬
meln sind die A, B, C Koefizienten, die sich allerdings durch die
Ableitung ergeben, die aber auch dadurch gefunden werden kön-
nen, dass man f(x) = ex setzt. Es ergibt sich daraus dann, dass
diese Bestimmung mit der Entwicklung von (up- y^l-f-u2)2k nach
steigenden Potenzen von u zusammenhängt. Diese Entwicklung
wird hier dadurch gefunden, dass gezeigt wird, es folge aus Λ -
(u4~ V’l + u2)21' die Differenzialgleichung: (1 ~P u2) — ~ 4~ u 77777
— 4k2Z=0, die dann durch die Reihe 1 4-M^ u4~M2 u24" ...