Heidelberger Jahrbücher der Literatur (61,1.1868)

Hankel: Theorie der complexen Zahlensysteme.

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»Strecken - Quotienten« besteht, so oft A DOC oo A BOA ist, so
dass nicht blos dieselbe Gleichung, als Zahle ngleichung ge-
dacht, zwischen den blossen Längen dieser Strecken bestehen,
sondern auch noch W. DOC ~ W. BOA (also auch W. DOB--W. COA)

sein muss.
Welchen Nutzen dieser' Algorithmus der Strecken gewährt,
erfährt man von dem Verf. zur Zeit nicht; — welchen unverzeih-

lichen Missbrauch er aber in dem nächsten §. 22 (Darstellung der

gemeinen complexen Zahlen in einer Ebene) davon gemacht hat,

hier aufzudecken, ist unsere Pflicht.
Man denke sich auf der festen (horizontal angenommenen)
Axe eine Längeneinheit OM rechts hin, — eine Längeneinheit OW
links hin, — endlich auch noch eine Längeneinheit OV auf der
darauf senkrechten (vertikalen) Axe abgetragen, — so ist A WOVoo
AVOM; folglich hat man die (»Str e cken- Quotie nten«) Glei-

OM OV
chung — = θ^. — So weit ist die Sache richtig. — Nun aber

setzt der Verf, -j-1 statt OM, und —1 statt OW und hat nun

die Gleichung

+ 1 0V W‘1 !
-~r·——-. Weil aber

wegen i2 =—1

auch die

Gleichung —

-—-besteht, — so folgert der Verf. daraus, dass

i = OV, d. h. dass die auf der vertikalen Axe genommene Längen-
Einheit OV, auch die von dem Verfasser sogenannte imaginäre
Einheit i ist. — Der Haupt-Trugschluss liegt hier darin, dass
— 1 statt OW gesetzt wird, während in Gleichungen zwischen
Strecken-Quotienten, (nach des Verf.’s eigener Feststellung) die
Richtung der Strecke durch den Winkel ausgedrückt wird, den
sie mit der Axen-Richtung OU macht. In der obigen Gleichung
ist die Länge der Strecke OW daher nur (positiv) absolut zu neh-
men, um die aus der Aehnlichkeit der Dreiecke folgernde Zahlen-
gleichung richtig zu erhalten. — Ausserdem ist ja auch in der,
durch —Oü ausgedrückten Strecke, das Zeichen (—) kein (Zahlen-)
S ub t r akt i ο n s - Zeichen, sondern das, die Verbindung & (zweier
Strecken OA und OB zu der Diagonale des Parallelogramms) auf-
lösende Zeichen λ, für welche beiden Zeichen vom Verf. die (-{-)
und (—) Zeichen willkürlich gesetzt worden sind.
Von jetzt ab wird nun der Verf. auf seiner abschüssigen Bahn
immer weiter in den Irrthum hineingedrängt. Ei nimmt auf der
festen Axe WOU eine (positive oder negative) »Strecke« OA = a,
— auf der darauf senkrechten Axe OV eine (positive oder negative)
»Strecke« OB — b, — hält letztere für den Ausdruck von
bi, und folgert nun, dass
a-]-bi = OA + OB=OM
sei, wo OM die Diagonale des von den Seiten OA und OB gebil-
deten Rechtecks ist. — Ein neuer Trugschluss; dass OA-j-OB—OM