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https://doi.org/10.11588/diglit.18961#0115
CTIAP. TT. MÉTHODE GÉNÉRALE. p7
rayon K'N=rrKI, nous décrirons l'arc NG' qui rencontre en G' Pl. 18.
] averti aile G "G7, nous mènerons l'G' et K'G', nous construirons le tri- Fl"
angle K'G'H' égal à h 'G'F, et les six sommets (I, F), (G", G'),
(K, KO, (H, H'), (K", K') et (G'% G1), de l'octaèdre cherché, seront
déterminés.
En effet, il est évident que la figure (KG"G'"K", K'G') sera un
quarré, et que les deux pyramides (I[KG"G'"K", H'K'G'), (IKG"G'"K",
l'K'G' ), auxquelles elle sert de base et dont les sommets sont (H, H')
et (J, I'), seront formées de faces triangulaires égales à KIK" : or
comme avec ces huit faces on ne peut former qu'un seul polyèdre,
celui qu'on vient d'obtenir (et dont on achèvera les projections en
menant les lignes IG", G "K, KH, HK", K"G'" et G'-'ï) , sera néces-
sairement le polyèdre cherché.
187. Passons à. la construction de l'icosaèdre régulier.
Soit (abG, a'G' ) un triangle équilatéral dont le plan soit hori- Fig. i.
sontal et dont la base ab soit perpendiculaire à la ligne de terre
MN, et proposons-nous de former avec ce triangle un polyèdre
régulier à vingt faces.
Pour cela, au moyen d'un cercle circonscrit au triangle abG, nous
construirons le triangle g/i~D, inscrit au même cercle, égal à abG,
et dont la base gh soit perpendiculaire à MN. Les six sommets
«, h, G, gy b, D, seront évidemment ceux d'un hexagone régulier.
Ensuite nous décrirons le pentagone régulier Gcdef dont les côtés
sont égaux à ab, et qui est placé de manière que les droites
ed et MN font entre elles un angle droit ; puis nous ferons
tourner ce pentagone autour de la ligne GG' perpendiculaire à
MN, comme charnière, jusqu'à ce que le côté de vienne se pro-
jeter en gh. Or , dans ce mouvement le côté de décrira un cylin-
dre perpendiculaire au plan vertical ; la trace verticale de ce cy-
lindre sera l'arc d'g1 décrit du point G' comme centre, et le
côté de s'arrêtera évidemment lorsqu'il sera projeté à l'intersec-
tion g' de la droite gg', perpendiculaire à la ligne de terre, avec
l'arc d'g' : alors le pentagone Gcdef se projettera sur le plan
vertical suivant la droite G'g', et les points f et c se projetteront
en (i, i') et {k, V).
Par le point a' on mènera la droite a'W parallèle à G'g'; on
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rayon K'N=rrKI, nous décrirons l'arc NG' qui rencontre en G' Pl. 18.
] averti aile G "G7, nous mènerons l'G' et K'G', nous construirons le tri- Fl"
angle K'G'H' égal à h 'G'F, et les six sommets (I, F), (G", G'),
(K, KO, (H, H'), (K", K') et (G'% G1), de l'octaèdre cherché, seront
déterminés.
En effet, il est évident que la figure (KG"G'"K", K'G') sera un
quarré, et que les deux pyramides (I[KG"G'"K", H'K'G'), (IKG"G'"K",
l'K'G' ), auxquelles elle sert de base et dont les sommets sont (H, H')
et (J, I'), seront formées de faces triangulaires égales à KIK" : or
comme avec ces huit faces on ne peut former qu'un seul polyèdre,
celui qu'on vient d'obtenir (et dont on achèvera les projections en
menant les lignes IG", G "K, KH, HK", K"G'" et G'-'ï) , sera néces-
sairement le polyèdre cherché.
187. Passons à. la construction de l'icosaèdre régulier.
Soit (abG, a'G' ) un triangle équilatéral dont le plan soit hori- Fig. i.
sontal et dont la base ab soit perpendiculaire à la ligne de terre
MN, et proposons-nous de former avec ce triangle un polyèdre
régulier à vingt faces.
Pour cela, au moyen d'un cercle circonscrit au triangle abG, nous
construirons le triangle g/i~D, inscrit au même cercle, égal à abG,
et dont la base gh soit perpendiculaire à MN. Les six sommets
«, h, G, gy b, D, seront évidemment ceux d'un hexagone régulier.
Ensuite nous décrirons le pentagone régulier Gcdef dont les côtés
sont égaux à ab, et qui est placé de manière que les droites
ed et MN font entre elles un angle droit ; puis nous ferons
tourner ce pentagone autour de la ligne GG' perpendiculaire à
MN, comme charnière, jusqu'à ce que le côté de vienne se pro-
jeter en gh. Or , dans ce mouvement le côté de décrira un cylin-
dre perpendiculaire au plan vertical ; la trace verticale de ce cy-
lindre sera l'arc d'g1 décrit du point G' comme centre, et le
côté de s'arrêtera évidemment lorsqu'il sera projeté à l'intersec-
tion g' de la droite gg', perpendiculaire à la ligne de terre, avec
l'arc d'g' : alors le pentagone Gcdef se projettera sur le plan
vertical suivant la droite G'g', et les points f et c se projetteront
en (i, i') et {k, V).
Par le point a' on mènera la droite a'W parallèle à G'g'; on
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