DOI Heft:
Nr. 34
DOI Seite / Zitierlink: https://doi.org/10.11588/diglit.42696#0539
Nr. 34. HEIDELBERGER 1SS0.
JAHRBÜCHER DER LITERATUR.
Serreti Oonrs «TAIgebre siiperienre.
(Schluss.)
Die allgemeinste Form einer rationalen Funktion einer Wurzel x
der Geichung F QQ — o vom mten Grade ist also
a o xm—1 —[— at xm 2 —|— ..... —|— am—,
in der a0, a£ .... am—1. von x unabhängig sind.
Cauchy in seinen frühem Exercices do Mathematiques (/vierter
Jahrgang) hat eine leicht anwendbare Methode zur Bestimmung des Wer-
thes einer rationalen und ganzen symmetrischen Funktion der Wurzeln
einer Gleichung gelehrt. Sie beruht auf folgendem Satze:
Sei V eine symmetrische ganze lind rationale Funktion der Wur-
zeln a, b, 1 der Gleichung mten Grades FQx) = o undjman elimi
nire, auf irgend eine Weise alle Wurzeln aus V, äusser a und habe
dann z. ß.: V = Ao an -}- At an—1 -(-....An,
so wird man V erhalten, wenn man diesen Werth durch F(a) dividirt
und den Rest, der von a unabhängig sein wird, gleich V setzt. Gestüzt
hierauf ist nun die Methode von Cauchy die folgende: Man dividire
F (x) durch x—a, und sei F{ (x) der Quotient; eben so sei F2 (x) ~
-1 p, T3 Ta) — u. s. f. bis Fm—1 (x)> das nur noch den Faktor
x—b x—c v J
x—1 enthalten wird. Man wird also auch folgende Gleichungen haben:
F(V) — 0, Fj (b) — 0,..., Fm—1 0) — 0 oder A = o, B o,.., L — o.
V ist nun eine symmetrische Funktion der Wurzeln einer der fol-
genden Gleichungen: F(x) = o, F* (Y) = o,..., Fm—1 fx) — o, so
dass man mit Hilfe des obigen Satzes V wird bestimmen können. Ver-
mittelst L, in das 1 nur im ersten Grade eingeht, kann man aus V die
Wurzel 1 wegschaffen; sodann durch K auch k u. s. f. Der Werth von
V wird also durch einfache Division erhalten und man sieht leicht ein,
dass, wenn V in Bezug auf die Wurzeln a, b,... und auf die in das-
selbe eintrelenden Korffizienten ganz ist, der Endwerth von V in Bezug
auf diese letzteren ebenfalls ganz ist.
Vermittelst der symmetrischen Funktionen kann ebenfalls die Elimi-
nation einer Uebekannten x aus zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten
XLIII. Jahrg. 4. Doppelheft. 34
JAHRBÜCHER DER LITERATUR.
Serreti Oonrs «TAIgebre siiperienre.
(Schluss.)
Die allgemeinste Form einer rationalen Funktion einer Wurzel x
der Geichung F QQ — o vom mten Grade ist also
a o xm—1 —[— at xm 2 —|— ..... —|— am—,
in der a0, a£ .... am—1. von x unabhängig sind.
Cauchy in seinen frühem Exercices do Mathematiques (/vierter
Jahrgang) hat eine leicht anwendbare Methode zur Bestimmung des Wer-
thes einer rationalen und ganzen symmetrischen Funktion der Wurzeln
einer Gleichung gelehrt. Sie beruht auf folgendem Satze:
Sei V eine symmetrische ganze lind rationale Funktion der Wur-
zeln a, b, 1 der Gleichung mten Grades FQx) = o undjman elimi
nire, auf irgend eine Weise alle Wurzeln aus V, äusser a und habe
dann z. ß.: V = Ao an -}- At an—1 -(-....An,
so wird man V erhalten, wenn man diesen Werth durch F(a) dividirt
und den Rest, der von a unabhängig sein wird, gleich V setzt. Gestüzt
hierauf ist nun die Methode von Cauchy die folgende: Man dividire
F (x) durch x—a, und sei F{ (x) der Quotient; eben so sei F2 (x) ~
-1 p, T3 Ta) — u. s. f. bis Fm—1 (x)> das nur noch den Faktor
x—b x—c v J
x—1 enthalten wird. Man wird also auch folgende Gleichungen haben:
F(V) — 0, Fj (b) — 0,..., Fm—1 0) — 0 oder A = o, B o,.., L — o.
V ist nun eine symmetrische Funktion der Wurzeln einer der fol-
genden Gleichungen: F(x) = o, F* (Y) = o,..., Fm—1 fx) — o, so
dass man mit Hilfe des obigen Satzes V wird bestimmen können. Ver-
mittelst L, in das 1 nur im ersten Grade eingeht, kann man aus V die
Wurzel 1 wegschaffen; sodann durch K auch k u. s. f. Der Werth von
V wird also durch einfache Division erhalten und man sieht leicht ein,
dass, wenn V in Bezug auf die Wurzeln a, b,... und auf die in das-
selbe eintrelenden Korffizienten ganz ist, der Endwerth von V in Bezug
auf diese letzteren ebenfalls ganz ist.
Vermittelst der symmetrischen Funktionen kann ebenfalls die Elimi-
nation einer Uebekannten x aus zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten
XLIII. Jahrg. 4. Doppelheft. 34