DOI Heft:
Heft 12 (Dezember 1925)
DOI Artikel:Hartmann, Kurt: Das Zahlengesetz der Ellipse: ein Beispiel der zeichnerischen Darstellung nach analytisch-geometrischer Methode
DOI Seite / Zitierlink:https://doi.org/10.11588/diglit.22865#0348
-341
äbbSii S
Wenn wir uns der Feststellung erinnern, dah in
jedem zweckdienlichen Zohlenpaare der Betrag von
y um so kleiner sein muh, dah in jedem zweckdien-
lichen Zahlenpaare der Betrag des zugehörigen x
gewählt worden ist, so erkennen wir, daß flch sämt-
liche zweckdienlichen Punkte zu einer durch die
Punkke L 0 S ?« v lallfenden Kurve zu-
sammenschliehen müssen. Diese Kurve ist eine
Ellipse. Die Gleichung
wählt also, wenn man unter x, x die Koordinaten
sBestimmmungsgröhen) von Punkken in einer Ebene
versteht, aus den doppelt unendlich vielen Punkten
dieser Ebene gerade die aus, die auf der durch die
tzalbachsen a und d bestimmten Ellipse liegen.
sAbbild. 9.)
Für alle Punkke innerhalb der Ellipse er-
gibt sich
^7- -j- -^7- klejner als 1,
a- b-
sür alie Punkte ouherhalb der Ellipse wird
größer als 1.
Es läßt sich mit Hilfe des pykhagoräischen Lehrsahes
und ciniger Rechnungen beweisen, dah dte durch die
bekannke Fadenkonstruktion gelieferten Punkte alle-
samt der Bedingung^--s- ^-1 genügen, wenn man
unter x, y die vom Mittelpunkt der Ellipse aus
gemeffenen Koordinaken eines Punkkes,
unter n- das Quadrat der halben Fadenlänge und
unker 1? das um das Quadrak der halben Enk-
fernung der beiden Brennpunkte verminderte
verstehk.
Wir wollen jedoch von weiteren mathematischea Ex-
kursionen absehen und stakt dessen eine Tabelle auf-
stellen, mik Hilfe deren man den ersten Quadranten
einer Ellipse mik beliebig gegebenen Halbmessern s
und d auf einfache Weise konstruieren kann. Die
Tabelle soll die Länge des zu jedem Teilpunkk der
in 10 Teile geteilten grohen Halbachse a gehörigen y
angeben. On der Mitte zwischen Teilpunkt 9 und 10
ist noch ein weikerer Teilpunkt eingefügt, wcil sich
dork y wegen der starken Krümmung der Ellipse am
meisten änderk.
X -
X-
L'
1?
0.1
L
0.01
0.99
0.995
d
0.2
L
0.04
0.96
0.980
d
0.3
a
0.09
0.91
0.954
d
0.4
a
0.16
0.84
0.916
d
0.5
a
0.25
0.75
0.866
d
0.6
a
0.36
0.64
0.8
d
0.7
a
0.49
0.51
0.714
b
0.8
a
0.64
0.36
0.6
b
0.9
a
0.81
0.19
0.436
b
0.95
3
0.9025
0.0975
0.312
d
Oede Zahl der Spalte 3 ergänzt die enksprechende der
Spalke 2 zur Summe 1. Die Spalte 4 enthält die
mit d multiplizierten, auf 3 Stellen abgerundeken
Quadratwurzeln der Spalte 3. Zur oben ausgeführten
Konstruktion der Ellipse mit den Halbachsen a gleich
50 rnm und d — 30 mm ergeben sich in Spalte 1 und
4 der Tabelle folgende Werte in mm:
X—
0.1.50-5
0.2.50-10
0.3.50-15
0.4.50-20
0.5.50-25
0.6.50-30
0.7.50-35
0.8.50-40
0.9.50^45
0.95.50 - 47,5
0.995.30 - 29,85
0.980.30 ^29,40
0.954.30^28,62
0.916.30 ^ 27,48
0.866.30 ^ 25,98
0.8 .30^24,—
0.714.30-21,42
0.6 .30^18,-
0.436.30 - 13,08
0.312.30- 9,36
Die betden Dezimalstellen von > können bei der Kon-
skrukkion nur schähungsweise berückflchtigt werden.
Die Verbindung der erhaltenen Einzelpunkte zum
ersten Ellipsenquadranken und die Erweiterung des-
selben zur Gesamkellipse bereitek keine Schwierig-
keiten. Durch Berwendung von Millimekerpapier
wird die Ausführung der Konstrukkion noch wesenk-
lich erleichkert.
äbbSii S
Wenn wir uns der Feststellung erinnern, dah in
jedem zweckdienlichen Zohlenpaare der Betrag von
y um so kleiner sein muh, dah in jedem zweckdien-
lichen Zahlenpaare der Betrag des zugehörigen x
gewählt worden ist, so erkennen wir, daß flch sämt-
liche zweckdienlichen Punkte zu einer durch die
Punkke L 0 S ?« v lallfenden Kurve zu-
sammenschliehen müssen. Diese Kurve ist eine
Ellipse. Die Gleichung
wählt also, wenn man unter x, x die Koordinaten
sBestimmmungsgröhen) von Punkken in einer Ebene
versteht, aus den doppelt unendlich vielen Punkten
dieser Ebene gerade die aus, die auf der durch die
tzalbachsen a und d bestimmten Ellipse liegen.
sAbbild. 9.)
Für alle Punkke innerhalb der Ellipse er-
gibt sich
^7- -j- -^7- klejner als 1,
a- b-
sür alie Punkte ouherhalb der Ellipse wird
größer als 1.
Es läßt sich mit Hilfe des pykhagoräischen Lehrsahes
und ciniger Rechnungen beweisen, dah dte durch die
bekannke Fadenkonstruktion gelieferten Punkte alle-
samt der Bedingung^--s- ^-1 genügen, wenn man
unter x, y die vom Mittelpunkt der Ellipse aus
gemeffenen Koordinaken eines Punkkes,
unter n- das Quadrat der halben Fadenlänge und
unker 1? das um das Quadrak der halben Enk-
fernung der beiden Brennpunkte verminderte
verstehk.
Wir wollen jedoch von weiteren mathematischea Ex-
kursionen absehen und stakt dessen eine Tabelle auf-
stellen, mik Hilfe deren man den ersten Quadranten
einer Ellipse mik beliebig gegebenen Halbmessern s
und d auf einfache Weise konstruieren kann. Die
Tabelle soll die Länge des zu jedem Teilpunkk der
in 10 Teile geteilten grohen Halbachse a gehörigen y
angeben. On der Mitte zwischen Teilpunkt 9 und 10
ist noch ein weikerer Teilpunkt eingefügt, wcil sich
dork y wegen der starken Krümmung der Ellipse am
meisten änderk.
X -
X-
L'
1?
0.1
L
0.01
0.99
0.995
d
0.2
L
0.04
0.96
0.980
d
0.3
a
0.09
0.91
0.954
d
0.4
a
0.16
0.84
0.916
d
0.5
a
0.25
0.75
0.866
d
0.6
a
0.36
0.64
0.8
d
0.7
a
0.49
0.51
0.714
b
0.8
a
0.64
0.36
0.6
b
0.9
a
0.81
0.19
0.436
b
0.95
3
0.9025
0.0975
0.312
d
Oede Zahl der Spalte 3 ergänzt die enksprechende der
Spalke 2 zur Summe 1. Die Spalte 4 enthält die
mit d multiplizierten, auf 3 Stellen abgerundeken
Quadratwurzeln der Spalte 3. Zur oben ausgeführten
Konstruktion der Ellipse mit den Halbachsen a gleich
50 rnm und d — 30 mm ergeben sich in Spalte 1 und
4 der Tabelle folgende Werte in mm:
X—
0.1.50-5
0.2.50-10
0.3.50-15
0.4.50-20
0.5.50-25
0.6.50-30
0.7.50-35
0.8.50-40
0.9.50^45
0.95.50 - 47,5
0.995.30 - 29,85
0.980.30 ^29,40
0.954.30^28,62
0.916.30 ^ 27,48
0.866.30 ^ 25,98
0.8 .30^24,—
0.714.30-21,42
0.6 .30^18,-
0.436.30 - 13,08
0.312.30- 9,36
Die betden Dezimalstellen von > können bei der Kon-
skrukkion nur schähungsweise berückflchtigt werden.
Die Verbindung der erhaltenen Einzelpunkte zum
ersten Ellipsenquadranken und die Erweiterung des-
selben zur Gesamkellipse bereitek keine Schwierig-
keiten. Durch Berwendung von Millimekerpapier
wird die Ausführung der Konstrukkion noch wesenk-
lich erleichkert.